Сформулируйте теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника и следствия из нее.

теорема 1.  в треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

доказательство.  пусть в треугольнике abc сторона ав больше стороны ас (рис.1, а).

рис.1

докажем, что ∠ с > ∠ в. отложим на стороне ав отрезок ad, равный стороне ас (рис.1, б). так как ad < ав, то точка d лежит между точками а и в. следовательно, угол 1 является частью угла с и, значит, ∠ c > ∠ 1. угол 2 — внешний угол треугольника bdc, поэтому z 2 > z в. углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника adc. таким образом, ∠ с > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ b. отсюда следует, что ∠ с > ∠ в.

справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).

теорема 2.  в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

из теоремы 1 вытекает

следствие 1.  если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный  (признак равнобедренного треугольника).

доказательство следствия проводится методом от противного.

из следствия 1 следует, что если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.

из теоремы 2 получаем

следствие 3.  в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

с использованием теоремы 2 устанавливается следующая теорема.

теорема 3.  каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

следствие 4.  для любых трех точек а, в и с, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:   ав < ас + св, ас < ав + вс, вс < ва + ас.