Легкое , найдите промежутки монотонности функции и экстремумы: а) у=(x-2)²/(x+1) б) у=√х-х

Решение 1.  а) у  =  (x  -  2)²/(x+1) находим первую производную функции: y ` = - (x - 2)/(x + 1)² + (2x - 4)/(x + 1) или y ` =  [(x - 2)*(x + 4)]/(x + 1)² приравниваем ее к нулю: [(x - 2)*(x + 4)]/(x + 1)² = 0(x - 2)*(x + 4) = 0 , x  ≠ 0 x₁   = -  4 x₂   = 2 вычисляем значения функции  f(-  4) = -12 f(2) = 0 ответ:   fmin   = -12, fmax   = 0 используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. найдем вторую производную: y `` = [2*  (x - 2)²/(x + 1)³ + 2/(x + 1) - (4x - 8)/(x + 1)² или y `` = 18/(x + 1)³ вычисляем: y `` =(- 4) = - 2/3 < 0 значит эта точка - максимума функции. y`` (2) = 2/3 > 0 значит эта точка - минимума функции. б)   промежутки монотонности функцииy ` =  [(x - 2)*(x + 4)]/(x + 1)² находим нули функции. для этого приравниваем производную к нулю (x  -  2) * (x+4) = 0 откуда: x₁  = -  4 x₂  = 2 (-∞ ; -4)   f'(x) > 0  функция возрастает  (-4; -1)  f'(x) < 0  функция убывает     (-1; 2)   f'(x) < 0   функция убывает (2; +∞)       f'(x) > 0   функция возрастает в окрестности точки x = -  4 производная функции меняет   знак с (+) на следовательно, точка x = -4 - точка максимума. в окрестности точки x = 2 производная функции меняет   знак с на (+). следовательно, точка x = 2 - точка минимума. 2.   а)   у  =  √х  -  хнаходим первую производную функции: y ` = - 1 + 1/2√x приравниваем ее к нулю: - 1 + 1/2√x = 0√x = 2/2 x = 1/4 вычисляем значения функции  f(1/4) = 1/4 используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. найдем вторую производную: y `` = - 1 / (4x³/²) вычисляем: y `` (1/4) = - 2 < 0 значит эта точка - максимума функции. б)   промежутки монотонности функцииy ` =- 1 + 1/2√x находим нули функции. для этого приравниваем производную к нулю - 1 + 1/2√x  = 0 откуда: x = 1/4 (-∞ ; 1/4)   f'(x) > 0  функция возрастает   (1/4; +∞)   f'(x) < 0   функция убывает в окрестности точки x = 1/4 производная функции меняет   знак с (+) на следовательно, точка x = 1/4 - точка максимума.

Степени ставятся " ^ ": 1) p^2*q^2+pq-q^3-p^3 q^2(p^2-q)-p(p^2-q) (p^2-q)(q^2-p) ну дальш только подставить. тама получится: (0,,,5)^2-0,5)= -0,1875; 2) 3x^3-2y^3-6x^2*y^2+xy 3x^2(x-2y^2)-y(2y^2-x) 3x^2(x-2y^2)+y(x-2y^2) (3x^2+y)(x-2y^2) (3*4/9+0,5)*(2/3-2*0,25)=11/36 учися