Вправильной треугольной призме аbca1b1c1 стороны основания 5 боковые ребра 2. д- середина с1с найти угол между плоскостями авс адв1

ну, обычным методом я легко решу. 

надо построить прямую пересечения ав1d и авс. в плоскости грани вв1с1с продлим прямые вс (за точку с) и в1d (за точку d) до пересечения - пусть это точка е. очевидно, что точка е принадлежит плоскости авс. и очевидно, что раз d - середина сс1, то треугольники в1с1d и dce равны (по стороне и 2 углам). поэтому de = b1d, и се = в1с1 = вс = 2.

прямая ае содержит 2 точки ( а и е), принадлежащие плоскостям авс и b1аd, поэтому ае - ребро двугранного угла между этими плоскостями. чтобы вычислить линейный угол двугранного угла, заметими, что угол асе - внешний угол треугольника авс, поэтому он равен 120 градусам. получается, что треугольник асе - равнобедренный с боковыми сторонами ас = се = 2 и углом при вершине 120 градусов. 

если через точки d, c и середину ае (пусть это точка м) провести плоскость, то см перпендикулярна ае и dc перпендикулярна ае (dc препендикулярна вообще всей плоскости авс, в том числе и лежащей в ней прямой ае). поэтому плоскость dcm перпендикулярна ае, и угол dmc и есть искомый угол. обозначим его ф.

при этом см - высота к основанию в равнобедренном треугольнике асе. угол при основании (например, угол сае) равен 30 градусов, поэтому см = ас/2 = 1;

dc = cc1/2 = 1/2;

tg(ф) = dc/cm = 1/2;

координатным тоже можно. разместим начало координат в точке а. ось x пустим ii bc, ось y перпендикулярно вс. ось z это аа1. тогда уравнение плоскости авс z = 0, и координаты нормального вектора  n  = (0, 0, 1).

найдем координаты точек в1 и d. напомню, что сторона основания равна 2, то есть высота равна корень(3).

координаты точки с, очевидно, (1, корень(3), 0), точки в (-1,  корень(3), 0)

поэтому b1 (-1,  корень(3), 1), d (1,  корень(3), 1/2);

напомню, что точка а (0, 0, 0); составим уравнение плоскости, проходящей через а, в1, d.

запишем определитель

ix           y             z   i

i-1   корень(3)     1   i

i1   корень(3)     1/2 i

или, в обычном виде, 

x*(корень(3)*(1/2) - корень(3)*1) - y*)*(1/2) - 1*1) + z*)*корень(3) - 1*корень(3)) = 0;

(корень(3)/2)*x - (3/2)*y + 2*корень(3)*z = 0;

разделим на корень(3)/2, получим

x - y*корень(3) + 4*z = 0; (если есть сомнения, непосредственной проверкой убеждаемся, что точки b1 (-1,  корень(3), 1), d (1,  корень(3), 1/2) принадлежат этой плоскости)

нормальный вектор  p  = (1, корень(3), 4)

найдем его модуль. ipi^2 = 1 + 3 + 16 = 20;   ipi = 2*корень(5);

угол между плоскостями равен углу между нормальными векторами, то есть

cos(ф) =  np/ipi = 4/(2*корень(5)) = 2*корень(5)/5.