Лёша купил 11 бутылок кока-колы, а федя 14 бутылок пепси. леша покупал бутылки по цене a рублей, a федя по b рублей (a,b — натуральные). когда они встретились, выяснилось, что в сумме они потратили 2013 рублей. сколько различных вариантов цен (пар (a,b) ) могло быть (мы считаем, что, как кола, так и пепси могли стоить любое натуральное число рублей)?

Уравнение будет такое 11a + 14b = 2013 отсюда a = (2013 - 14b)/11 = 183 - 14b/11 при этом a и b должны быть натуральными. значит, b делится на 11, чтобы а получилось натуральным. варианты: b = 11, a = 183 - 14 = 169 b = 22, a = 183 - 14*2 = 183 - 28 = 155 b = 33, a = 183 - 14*3 = 183 - 42 = 141 b = 44, a = 183 - 14*4 = 183 - 56 = 127 b = 55, a = 183 - 14*5 = 183 - 70 = 113 b = 66, a = 183 - 14*6 = 183 - 84 = 99 b = 77, a = 183 - 14*7 = 183 - 98 = 85 b = 88, a = 183 - 14*8 = 183 - 112 = 71 b = 99, a = 183 - 14*9 = 183 - 126 = 57 b = 110, a = 183 - 14*10 = 183 - 140 = 43 b = 121, a = 183 - 14*11 = 183 - 154 = 29 b = 132, a = 183 - 14*12 = 183 - 168 = 15 b = 143, a = 183 - 14*13 = 183 - 182 = 1 всё. ответ: 13 вариантов.

Это вы хорошую придумали : ) ну, то есть не вы придумали, но она мне нравится.  уравнение будет такое:   , его надо решить в целых числах. есть алгоритм решения таких уравнений, называются они линейными диофантовыми уравнениями, потому что изучал их диофант, полагаю. так вот, сначала нужно найти нод коэффициентов, то есть 11 и 14, так как они взаимнопросты, то    потом на него надо сократить, при чём если не сократится, то решения нет. но нам тут сокращать не на что. дальше надо угадать какое-то решение, одно, любое. на самом деле, оно не угадывается, а находится по алгоритму евклида обратным ходом (есть такая ещё теорема о линейном представлении нода). ну так вот, из неё  , значит одно из решений будет таким: круто, да? подойдёт, проверьте. это я просто домножил на 2013 представление единицы. вы скажете: ну это же не решение, какое-то отрицательное число! я вам на это скажу, что вы правы. и замечу только, что общее решение в целых числах пишется так:   и теперь последний шаг, нужно найти такие t, что оба эти числа натуральны. ну и выходит, что нету таких t, может, я где-то ошибся, но вроде калькулятором пользовался. такие дела. предмет, на котором это проходят, называется "теория чисел", а такие на олимпиадах , там школьники это всё уже должны знать. знание - сила.

√60 = 2 √15получается так