Нужно! найдите значение параметра а при которых наиболшее значение функции f(x)=|2x^2+|a|x+ax+2a-49| на отрезке [-5: 5] принимает наименьшее значение

т.к. f(x) всегда положительна, то наименьшее значение может быть 0 и больше.

посмотрим, существуют ли а, при которых f(x) принимает значение равное 0 на отрезке [-5; 5]. т.е. равносильна

при каких а, у квадратного уравнения  есть корни принадлежащие отрезку [-5; 5]

очевидно, что если  2a-49> 0, то решений нет. о.в.р:

рассмотрим а=< 0. при таких а выражение |a|+a обращается в 0 следовательно вершина лежит на оси х=0

тогда при а=< 0 нам необходимо и достаточно условия f(5)> =0

почему?

нарисуем параболлу. мы видим, что если в точке b(по оси абцисс) параболла принимает положительное значение, то пересечение с осью абцисс лежит левее b

рассмотрим а> 0

вершина параболлы будет лежать в 3 четверти координатной плоскости(где x и y отрицательны). вершина по оси ординат лежит ниже 0 следует из того, что а=< 24,5, а то, что вершина лежит левее нуля по оси абцисс следует из того, что |a|+a> 0

поэтому и здесь нам достаточно условия, что f(5)> =0

теперь наша свелась к решению неравенства

f(5)> =0, a=< 24,5

в итоге ответ: