№1 в треугольнике abc со сторонами ab=2 см, bc=3 см и ac=3 см проведена биссектриса bm. найдите длины отрезков am и mc. №2 в треугольнике mnkизвестны длины сторон mn=4 см,nk=5 см, np — биссектриса, а разность длин отрезковmp и pkравна 0,5 см. найдите mp и pk. №3 в треугольнике dep проведена биссектрисаek. найдите стороныde и ep,если dk=3 см, kp=4 см, а периметр треугольника dep равен 21 см. №4 в треугольнике abc: bc-ab=3 см, биссектриса bd делит сторону ac на отрезки ad=2 см и dc=3 см. найдите длины сторон ab и bc №6 периметр треугольника cde равен 55 см. в этот треугольник вписан ромб dmfn так, что вершиныm,f и n лежат соответственно на сторонах cd,ce и de. найдите стороны cb и de, если cf=8 см; ef=12 см. №7 в прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого угла. известно что эта биссектриса делит противолежащий катет на отрезки 4 см и 5 см. найдите площадь прямоугольного треугольника. №8 точка o на гипотенузе равноудалена от двух катетов прямоугольного треугольника и делит гипотенузу на части длиной 30 см и 40 см. найдите катеты треугольника и его площадь. №9 найдите угол между биссектрисами двух углов треугольника, если градусная мера одного из этих углов равна 40 градусов, а градусная мера третьего угла 60градусов №10 в прямоугольном треугольнике с углом 30градусов и гипотернузой, равной 4см проведена биссектриса к гипотенузе. найдите отрезки, на которые она разбивает эту гипотенузу. №11 в прямоугольном треугольнике с углом 60 градусов и меньшим катетов, равным коренем из 3 проведена биссектриса к гипотенузе. найдите отрезки на гипоненузе, образованные от проведения этой биссектрисы.

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. 1. пусть ам = х, тогда см = 3 - х. (3 - x) : x = 3 : 2 6 - 2x = 3x 5x = 6 x = 1,2 am = 1,2 см, см = 1,8 см 2. так как mn < nk, то mp < pk. пусть мр = х, тогда рк = х + 0,5 4 : x = 5 : (x + 0,5) 5x = 4x + 2 x = 2 мр =2 см, рк = 2,5 см 3. de + ep = pdep - dp = 21 - 7 = 14 см пусть de = x, тогда ер = 14 - х x : 3 = (14 - x) : 4 4x = 42 - 3x 7x = 42 x = 6 de = 6 см, ер = 8 см 4. пусть ав = х, тогда вс = х + 3. x : 2 = (x + 3) : 3 3x = 2x + 6 x = 6 ав = 6 см, вс = 9 см 6. в условии опечатка: надо найти длины сторон cd и de. df - диагональ ромба, а диагонали ромба лежат на биссектрисах его углов, значит df - биссектриса треугольника. cd + de = pcde - ce = 55 - 20 = 35 см пусть cd = х, тогда de = 35 - х x : 8 = (35 - x) : 12 12x = 280 - 8x 20x = 280 x = 14 cd = 14 см, de = 21 см 7. δавс, ∠с = 90°, ам - биссектриса. пусть ас = х, тогда по теореме пифагора ав = √(х² + 81). x : 4 = √(х² + 81) : 5 5x = 4√(х² + 81) 25x² = 16x² + 81 · 16 9x² = 81 · 16 x² = 9 · 16 x = 3 · 4 = 12 ас = 12 см sabc = ac · cb / 2 = 12 · 9 = 54 см² 8. так как точка о равноудалена от катетов, со - диагональ квадрата, а диагонали квадрата лежат на биссектрисах его углов. значит со - биссектриса треугольника. а : 40 = b : 30 b = 30a / 40 = 3a/4 по теореме пифагора: 70² = a² + 9a²/16 25a²/16 = 4900 a² = 4900 · 16 / 25 = 196 · 16 a = 14 · 4 = 56 cb = 56 см ас = 3 · 56 / 4 = 3 · 14 = 42 см sabc = cb · ac / 2 = 56 · 42 / 2 = 1176 см² 9. δавс: ∠в = 60°, ∠с = 40°, ⇒ ∠а = 80°. о - точка пересечения биссектрис. ∠оас + ∠оса = (∠а + ∠с)/2 = (80° + 40°)/2 = 60° из δоас ∠аос = 180° - (∠оас + ∠оса) = 180° - 60° = 120° 10. δавс с прямым углом с, см - биссектриса. ас = ав/2 = 2 см как катет, лежащий напротив угла в 30°. по теореме пифагора вс = √(ав² - ас²) = √(16 - 4) = √12 = 2√3 см пусть ам = х, тогда мв = 4 - х. x : 2 = (4 - x) : (2√3) 2√3x = 8 - 2x 2x(√3 + 1) = 8 x = 4 / (√3 + 1) = 4(√3 - 1) / (3 - 1) = 2(√3 - 1) am = 2(√3 - 1) см мв = 4 - (2√3 - 2) = 6 - 2√3 = 2√3(√3 - 1) см 11. δавс: ∠с = 90°, ∠а = 60°, ⇒ ∠в = 30°, тогда ав = 2ас = 2√3 см по свойству катета, лежащего напротив угла в 30°. по теореме пифагора: вс = √(ав² - ас²) = √(12 - 3) = √9 = 3 см см - биссектриса. пусть ам = х, мв = 2√3 - х. x : √3 = (2√3 - x) : 3 3x = 6 - √3x x(3 + √3) = 6 x = 6 / (3 + √3) = 6(3 - √3) /(9 - 3) = 3 - √3 = √3(√3 - 1) am = √3(√3 - 1) см мв = 2√3 - 3 + √3 = 3√3 - 3 = 3(√3 - 1) см

Т.к при пересечении 2 парал. прямых с секущей, образуются смежные углы, сумма которых равна 180 градусов, то если один из них на 70 больше другого, это углы 60 и 130 градусоd