С. небольшое тело на пружине начало движение из положения равновесия по закону x=asin(ωt). какой путь пройдёт это тело от начала движения за время t=5t/8, где t - период колебаний.

Давай попробуем рассуждать логически. представим мысленно тело, пружину, и запустим процесс колебания. за первую четверть периода тело долетит до крайнего положения, то есть пройдёт путь а. это 1/4 т = 2/8 т. за вторую четверть оно прилетит обратно из крайнего  в положение равновесия, то есть добавит ещё а. это опять 1/4 т = 2/8 т. итого, за эти два участка тело пролетело (блин, в рифму получается - фигня какая) уже 2а, и потратило время 2/8т + 2/8т = 4/8 т. но у тебя спрашивается 5/8т, значит нужно добавить ещё 1/8т. но сколько же это будет в градусах или радианах? 1/8 периода (то есть полного круга) - это не что иное, как  45 градусов, или пи/8 - что тебе привычнее. всё равно в чём мерить. а какую  же часть амплитуды а проедет тело за 45 градусов? - дык это же а * sin(45) = а * корень(2) /2. складываем все три участка  в кучку, и получаем: х =  а + а + а*корень(2) / 2.  для красоты я бы записал так: х = 2а + а*корень(2)/2 = а*(2+корень(2)/2) = а*(4+корень(2)) / 2. ну, это если я не наврал, конечно. ты мне, как говорится, доверяй, но проверяй. а то как бы не закралась ошибочка.

m=0.25 кг   k=100 н/м     v=0.1 м/с   a=?

===

v=a*ω=a*√(k/m)

a=v*√(m/k)=0.1*√(0.25/100)=0.005 м   (5 мм)

==============================