Положительные числа a, b, с таковы ,что аb+bc+ca в пять раз больше ,чем abc.каково минимальное значение суммы этих чисел?

189

290

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

AkaboS123

Математика

4,4(50 оценок)

аb+bc+ca=5abcx=a+b+c (1)нужно найти min{x}.

1. если бы числа a, b, c были по условию целые, то: (аb+bc+ca)/abc=51/c+1/a+1/b=5из последнего видно, что не существует таких целых чисел. минимальные положительные значения a, b, c, чтобы 1/c+1/a+1/b - было целым числом равны 1, но сумма их равна 3. значит они должны быть меньше 1, но больше 1/5.

2. найдем экстремум функции 2-х переменных.

из системы (1) выразим с и х, получим: 5ab-a-b! =0, c =(ab)/(5ab-a-b), x =(5a^2b-a^2+5ab^2-ab-b^2)/(5ab-a-b), ab! =0 (! = - не равно)

найдем частные производные первого порядка.x =(5a^2b-a^2+5ab^2-ab-b^2)/(5ab-a-b)(dx(a,b))/(da) = (a^2+2ab-10a^2b-10ab^2+25a^2b^2)/(-a-b+5ab)^2(dx(a,b))/(db) = +5a)b(-b+a(-2+/(a+b-5ab)^2

найдем стационарные точки решая с-му уравнений: (a^2+2ab-10a^2b-10ab^2+25a^2b^2)/(-a-b+5ab)^2=0(dx(a,b))/(db) = +5a)b(-b+a(-2+/(a+b-5ab)^2=0(потрудитесь сами)получатся некие точки: отбираем только те, которые соответствуют условию, что a> 0, b> 0, c> 0. и условию 1/c+1/a+1/b=5 -> 1< a< 1/5, 1< b< 1/5, 1< c< 1/5.

найдем частные производные второго порядка: (d^2x(a,b))/(da^2) = (2(-b^2+5b^3))/(-a-b+5ab)^3(d^2x(a,b))/(da db) = (2ab)/(-a-b+5ab)^3(d^2x(a,b))/(db^2) = (2(-a^2+5a^3))/(-a-b+5ab)^3

найдем значения этих производных в т.mn, если точка mn не одна, находим все значения.

найдем δ=ac-b^2, гдеa=f''aa(a0; b0)=(d^2x(a,b))/(da^2), в=ƒ''ab(a0; b0)=(d^2x(a,b))/(da db), с=ƒ''bb(a0; b0)=(d^2x(a,b))/(db^2).(самостоятельно)

получим некие значения δ (если мn одна, то значение одно)возможны такие варианты: 1. если δ > 0, то функция ƒ(х; у) в точке (х0; у0) имеет экстремум: максимум, если а < 0; минимум, если а > 0; 2. если δ < 0, то функция ƒ(х; у) в точке (х0; у0) экстремума не имеет.в случае δ = 0 экстремум в точке (х0; у0) может быть, может не быть. необходимы дополнительные исследования.(в одном из решений должно получиться δ > 0 и а > 0)(все решаем самостоятельно)

после всего координаты т. мn, в которой δ > 0 и а > 0 подставляем в x =(5a^2b-a^2+5ab^2-ab-b^2)/(5ab-a-b) и находим минимальное значение суммы чисел а,b и с.помимо всего, у нас еще и значеня самих а, b и с получатся а и b это координаты т. мn (3/5,3/5), которая удовлетворяет условию δ > 0 и а > 0, а значение с найдем из c =(ab)/(5ab-a-b).

ответ: min{x =(5a^2b-a^2+5ab^2-ab-b^2)/(5ab-a-b)} = 9/5 при (a,b) =(3/5, 3/5) и с=3/5.

все.

проще я не знаю как.

supersattarova

Математика

4,5(40 оценок)

Пошаговое объяснение:

Привет как дела?

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Математика

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.