Сколько существует трехзначных чисел с невозрастающим порядком цифр?

французский философ, писатель, и блез паскаль (1623–1662) рано проявил свои способности. круг интересов паскаля был весьма разнообразен. паскаль доказал одну из основных теорем проективной (теорема паскаля), сконструировал суммирующую машину (арифмометр паскаля), дал способ вычисления биномиальных коэффициентов (треугольник паскаля), впервые точно определил и применил для доказательства метод индукции, сделал существенный шаг в развитии анализа бесконечно малых, сыграл важную роль в зарождении теории вероятности. в гидростатике паскаль установил ее основной закон (закон паскаля). “письма к провинциалу” паскаля явились шедевром французской классической прозы.

готфрид вильгельм лейбниц (1646–1716) — философ, , и изобретатель, юрист, , языковед. в наряду с и. ньютоном разработал дифференциальное и интегральное исчисление. важный вклад внес в комбинаторику. с его именем, в частности, связаны теоретико-числовые .

готфрид вильгельм лейбниц имел мало внушительную внешность и поэтому производил впечатление довольно невзрачного человека. однажды в париже он зашел в книжную лавку в надежде приобрести книгу своего знакомого философа. на вопрос посетителя об этой книге книготорговец, осмотрев его с головы до ног, насмешливо бросил: “зачем она вам? неужели вы способны читать такие книги? ” не успел ученый ответить, как в лавку вошел сам автор книги со словами: “великому лейбницу и уважение! ” продавец никак не мог взять втолк, что перед ним действительно знаменитый лейбниц, книги которого пользовались большим спросом среди ученых.

в дальнейшем важную роль будет играть следующая

лемма. пусть в множестве элементов, а в множестве — элементов. тогда число всех различных пар , где будет равно .

доказательство. действительно, с одним элементом из множества мы можем составить таких различных пар, а всего в множестве элементов.

размещения, перестановки, сочетания

пусть у нас есть множество из трех элементов . какими способами мы можем выбрать из этих элементов два? .

определение. размещениями множества из различных элементов по элементов называются комбинации, которые составлены из данных элементов по элементов и отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

число всех размещений множества из элементов по элементов обозначается через (от начальной буквы французского слова “arrangement”, что означает размещение), где и .

теорема. число размещений множества из элементов по элементов равно

доказательство. пусть у нас есть элементы . пусть — возможные размещения. будем строить эти размещения последовательно. сначала определим — первый элемент размещения. из данной совокупности элементов его можно выбрать различными способами. после выбора первого элемента для второго элемента остается способов выбора и т.д. так как каждый такой выбор дает новое размещение, то все эти выборы можно свободно комбинировать между собой. поэтому имеем