Найдите числа представляющие собой кубы натуральных чисел и имеющие вид 13р+1, где р простое число

Обозначим искомое число как , по условию . перенесём единицу в левую часть и разложим разность кубов на множители: понятно, что , тогда обе скобки-сомножителя - натуральные числа, большие 1. с другой стороны, произведение представляется в виде двух натуральных сомножителей, больших единицы, единственным (с точностью до перестановок) способом: . поэтому , равны либо и , либо и . случай 1. из первого уравнения следует, что , тогда после подстановки во второе уравнение находим . - действительно простое число, так что нас устраивает. случай 2.  тут всё немного сложнее: уравнение на квадратное, а не линейное, как в первом случае. , получаем уравнение , у которого только один натуральный корень . подставляем в первое равенство: - простое число, так что и тут нас всё устраивает. ответ. ,

A) 18a²-2=2(9a²-1)=2(3a-1)(3a+1) б) 2ax³-16ay³=2a(x³-8y³)=2a(x³-2³y³)=2a(x-2y)(x²+2xy+y²) в) 8k⁴+8k²+2=2(4k⁴+4k²+1)=2(4k²(k²+1)+1) г) 9m²-6m-10p-25p²=9m²-25p²-6m-10p=(3m-5p)(3m+5p)-2(3m+5p)=(3m+5p)(3m-5p-2) д) a³+3a²x+6ax+12x-8=a³-2³+3a²x+6ax+12x=(a-2)(a²+2a+4)+3x(a²+2a+4)=(a-2+3x)(a²+2a+4)