Дан треугольник авс, ав = 4, вс = 5, ас = 6. на стороне вс взята точка к так, что вк = . на стороне ас взята точка м так что см = . найти расстояние d между центрами окружностей , описанных вокруг треугольников авк и акм. в ответе указать число равное 4d.

Треугольник  abcabc  является остроугольным, так как  62< 42+5262< 42+52. отсюда следует, что основания высот находятся на сторонах, а не на их продолжениях. опустим высоту  aa1aa1, и пусть она делит отрезок  bcbc  на части длиной  xx  и  yy. с одной стороны,  x+y=5x+y=5. с другой стороны, ввиду теоремы пифагора, применённой к треугольникам  aca1aca1  и  aba1aba1  с общей высотой,  62−x2=aa21=42−y262−x2=aa12=42−y2. следовательно,  x2−y2=20x2−y2=20, то есть  x−y=20/5=4x−y=20/5=4, откуда  x=9/2x=9/2  и  y=1/2y=1/2. последнее означает, что  k=a1k=a1, то есть треугольник  abkabk  прямоугольный, и центр описанной около него окружности является серединой гипотенузы  abab. теперь опустим высоту  bb1bb1, и тем же методом найдём  cb1=15/4cb1=15/4,  b1a=9/4b1a=9/4. из этого следует, что  mb1=15/4−27/8=3/8mb1=15/4−27/8=3/8, что составляет  1/101/10  от  cb1cb1. точно так же,  kbkb  составляет  1/101/10  от  cbcb. из этого можно сделать вывод, что прямые  kmkm  и  bb1bb1  параллельны, а потому треугольник  akmakm  также прямоугольный. и центр описанной около него окружности есть середина гипотенузы  akak. таким образом,  dd  есть длина средней линии треугольника  abkabk, откуда  d=bk/2=1/4d=bk/2=1/4.

3. б

4.б

..............