1.с точки к плоскости проведены две наклонные, равные 3 корня из двух каждая. угол между наклонными равен 60 градусов, а угол между проекциями - прямой.найти расстояние от этой точки до плоскости. 2.точка м находится на расстоянии 2 см от каждой стороны правельно треугольника и на расстоянии 1 см от плоскости треугольника. найти стороны треугольника.

1. тут можно много решений сделать, но вообще то устная.

если взять куб со стороной 3 - пусть это abcda1b1c1d1, провести диагонали граней а1в и а1d, они как раз и будут такими наклонными к плоскости основания abcd. все что надо сообразить - что треугольник а1вс равносторонний, поэтому угол между а1в и а1с равен 60 градусам. понятно, что проекции диагоналей - это строны квадрата в основании. то есть выполнены все условия . (можно считать, что я "достроил" фигуру из наклонных и проекций до куба с сечением по двум пересекающимся диагоналям смежных граней)

теперь очевидно, что расстояние от а1 до основания abcd равно стороне куба 3.

2. поскольку точка м равноудалена от сторон треугольника, то и её проекция - точка о равноудалена от сторон, то есть эта проекция - центр вписанной окружности. если через точку м провести плоскость перпендикулярно одной из сторон - например ав, то эта плоскость очевидно пройдет через о (мо - перпендикуляр к плоскости треугольника). если обозначить за к точку пересечения этой плоскости со стороной ав, то треугольник мок прямоугольный, мо = 1, мк = 2 (ясно, что мк перпендикулярно стороне ав). отсюда угол мко = 30 градусов.

второй катет, который очевидно равен  √3 - это радиус вписанной в авс окружности. отсюда легко сосчитать, что высота треугольника равна 3√3, а сторона равна 6.

(в правильном треугольнике центры вписанной и описанной окружностей с точкой пересечения медиан, то есть r = h/3; r = 2h/3; h = a√3/2)

Вся штука в том, что гипотенуза прямоугольного треугольника - диаметр окружности цилиндра.(прямой уго должен опираться на диаметр) итак, в этом треугольнике один катет = 2а, второй катет = х, гипотенуза = 2х ( т.к. катет, лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы) составим теорему пифагора: 4х² - х² = 4а²,  ⇒ 3х² = 4а²,⇒ х² = 4а²/3,⇒ ⇒ х = 2а√3/3.   гипотенуза = 4а√3/3. угол 45° говорит о том, что высота = гипотенузе и = 4а√3/3 r = 2а√3/3 можно искать v =  πr²h =  π4a²/3 * 4а√3/3 = 16πа³√3/3