Даны координаты четырех точек а(0,80)b(2,-1,0) c(3,0,1) m(2,1,-1) требуется: 1)составить уравнение плоскости,проходящей через точки a,b,c 2)составить каноноческие уравнения прямой,проходящей через точку m,перпендикулярно плоскости q 3)найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью qи с координатными плоскостями xoy,xoz,yoz 4)найти расстояние от точки m до плоскости q

1)  составить уравнение плоскости,проходящей через точки a,b,c. для составления уравнения плоскости используем формулу: |     x  -  xa     y  -  ya     z  -  za ||xb  -  xa     yb  -  ya   zb  -  za ||xc  -  xa   yc  -  ya     zc  -  za  |=  0подставим данные и выражение: |x  - 0         y  - 8         z  - 0|   |2 - 0     (-1) - 8         0 - 0||3 - 0         0 - 8     1 - 0  |=  0 |x  - 0   y -  8     z -  0||     2       -9         0   ||     3         -8         1   |  =  0 (x -  ·1-0·(-8))  -  (y -  8)(2·1-0·3)  +  (z -  0)(2·(-)·3)  =  0 (-9)(x  -  0)  + (-2)(y  -  8)  + 11(z  -  0)  =  0   -  9x  -  2y  +  11z  +  16  =  0 без определителей надо решить систему из трёх уравнений: уравнение плоскости: a · x + b · y + c · z + d = 0 . для нахождения коэффициентов a, b, c и d нужно решить систему: a · x1   + b · y1   + c · z1   + d = 0 , a · x2   + b · y2   + c · z2   + d = 0 , a · x3   + b · y3   + c · z3   + d = 0 . решим эту систему, которая в нашем случае запишется следующим образом: a · (0) + b · (8) + c · (0) + d = 0 , a · (2) + b · (-1) + c · (0) + d = 0 , a · (3) + b · (0) + c · (1) + d = 0 . получим уравнение плоскости: - 9 · x - 2 · y + 11 · z + 16 = 0 . 2) составить каноническое уравнение прямой,  проходящей через точку m,  перпендикулярно плоскости q.в  общем   уравнении плоскости  ax+by+cz+d=0,   вектор  n→=(a; b; c)  - вектор нормали к плоскости. в найденном уравнении плоскости вектор нормали имеет следующие координаты  n→=(−9; -2; 11) вспомним каноническое уравнение прямой  (x−x0)/m=(y−y0)n=(z−z0)p(1), где  координаты  (x0; y0; z0)  - координаты точки, принадлежащей прямой, согласно условия это точка  м( 2; 1; -1).каноническое уравнение прямой, проходящей через точку  m  перпендикулярно плоскости  q :   ( x−2)/−9=(y-1)/-2=(z+1)/11. 3) найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью q  и с координатными плоскостями xoy,xoz,yozуравнение прямой  через точку  m  перпендикулярно плоскости  q:   (x−2)/−9=(y-1)/-2=(z+1)/11  в параметрическом виде   (x−2)/−9=(y-1)/-2=(z+1)/11 =t.выразим переменные через t: x = -9t + 2 y = -2t + 1 z = 11t - 1 и подставим в уравнение плоскости: -  9(-9t + 2)  -  2(-2t + 1)  +  11(11t - 1)  +  16  =  0 81t - 18 + 4t - 2 + 121t - 11 + 16 = 0 206t - 15   = 0 t = 15 / 206 =  0.072816.координаты точки пересечения : x = -9t + 2  =  1.3446602  , y = -2t + 1  =  0.8543689, z = 11t - 1  =  -0.199029.найдем точки пересечения прямой с координатными плоскостями:   точка пересечения прямой с плоскостью  xoy;   z=0,  (x−2)/−9=(y-1)/-2=(0+1)/11 =>   (x−2)/−9=(y-1)/-2=1/11     запишем систему уравнений: (x−2)/−9 = 1/11 11х - 22 = -9 х = (22 - 9) / 11 = 13  /  11 =  1.181818.(y-1)/-2 = 1/11 11у - 11 = -2у = (-2 + 11) / 11 = 9 / 11 =  0.818182. z = 0. точка пересечения прямой с плоскостью  xoz;   y=0 ,  (x−2)/−9=(0-1)/-2=(z+1)/11  =>     запишем систему уравнений: (x−2)/−9=(0-1)/-2 = 1/2 2х - 4 = -9 х = (-9 + 4) / 2 =-5 / 2 = -2,5. (z+1)  /  11 = 1/2 2z + 2  = 11 z = (11 - 2) / 2 = 9 / 2 = 4,5/ y = 0. точка пересечения прямой с плоскостью  yoz;   x=0 ,  (0−2)/−9=(y-1)/-2=(z+1)/11 =>   (y-1)/-2=(z+1)/11 = 2/9     запишем систему уравнений: (y-1)  /  -2 = 2  /  9 9у - 9 = -4 у = (9 - 4) / 9 = 5 / 9 =  0.555556. (z  +1)  /  11 = 2  /  9 9z+ 9 = 22 z = (22 - 9) / 9 = 13 / 9 =  1.444444.x = 0.4)найти расстояние от точки m до плоскости q. расстояние от точки  m(x0; y0; z0)  до плоcкости рассчитывается по формуле  d=(|ax0+by0+cz0+d|) /  √(a² +b² +c²), где   ax0+by0+cz0+d  - общее уравнение плоскости, x0; y0; z0  - координаты точки  m(x0; y0; z0) рассмотрим уравнение плоскости q:   -  9x  -  2y  +  11z  +  16  =  0   - общее уравнение плоскости.a=−9; b=-2; c=11d=16координаты точки  m(2; 1; −1).подставим в формулу данные d  =  |-9·2 + (-2)·1 + 11·(-1) + 16|  =  |-18  -  2  -  11  +  16|  =√(-9)2  + (-2)2  + 112√81 + 4 + 121 =  15  =  15√206  ≈  1.0450995214374266.

Х-ширина в см,2х-длина в см, у-площадь в см квадратных составляем систему уравнений: 1. 2х (квадрат) =у (это площадь первоначального прямоугольника) (х+3)умножить на (2х+2)=у+78 (это площадь увеличенного прямоугольника) 2. 2х (квадрат) =у 2х (квадрат) +8х+6=у+78 3. 2х (квадрат) =у 2х (квадрат) +8х+6=2х (квадрат) +78 4. 2х (квадрат) = 8х+6=78 5. 2х (квадрат) =у 8х=72, отсюда х=9 см - это ширина; 9х2=18 см - это длина.