Даны координаты вершин пирамиды а1 а2 а3 а4. средствами векторной найти: 1) угол между рёбрами а1а2и а1а4; 2) площадь грани а1 а2 а3; 3) проекцию вектора а1а3на вектор а1а4; 4) объём пирамиды а1(2, 4, 3), а2(7, 6, 3), а3(4, 9, 3), а4(3, 6, 7).

1) определяем векторы  а1а2  и а1а4: а1а2 =(7-2=5; 6-4=2; 3-3=0) = (5; 2; 0), а1а4 = (3-2=1; 6-4=2; 7-3=4) =(1; 2; 4). угол между рёбрами а1а2  и а1а4: =1,197487 радиан = 68,61098 градуса. 2) площадь грани а1 а2 а3: площадь  треугольника   образованного  векторами   a и b равна половине  модуля векторного произведения  этих  векторов. вектор  а1а2   найден. находим вектор  а1а3: = (4-2=2; 9-4=5; 3-3=0) = (2; 5; 0). s  = (1/2)*|a  ×  b|. c =a  ×  b  =      (2·0  -  0·5)  -    (5·0  -  0·2)  +    (5·5  -  2·2)  =    =    (0  -  0)  -    (0  -  0)  +  +  (25  -  4)  =  {0;   0;   21 }|a x b|  =  √(cx²   +  cy²   +  cz²)  =  √(0²  +  0²  +  21²)  =  √(0  +  0  +  441)  =  √441   =  21. найдем площадь треугольника: s  = (1/2)*21  =  10.5.3)  проекция вектора а1а3  на вектор а1а4. пр  ba  = (a  ·  b)/|b| найдем  скалярное произведение векторов  : a  ·  b  =  ax  ·  bx  +  ay  ·  by  +  az  ·  bz  =   5  ·  1  +  2  ·  2  +  0  ·  4  =  5  +  4  +  0  =  9 найдем  модуль  вектора  : |b|  =  √(bx²   +  by²   +  bz²)  =  √(1²  +  2²  +  4²)  =  √(1  +  4  +  16)  =  √21 пр  ba  =  9/√21   =  3√21/7  ≈  1.963961. 4) объём пирамиды. объем пирамиды равен:   (ab{x1, y1, z1} ;   ac{x2, y2, z2} ;   as{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3находим третий вектор : as  =  {sx   - ax; sy   - ay; dz   - az }  =  {3  -  2;   6  -  4;   7  -  3}  =  {1;   2;   4}.v  = (1/6)|ab  · [ac  ×  ad]|. находим смешанное произведение векторов: ab  ·  (ac  ×  as)  =  5·5·4  +  2·0·1  +  0·2·2  -  0·5·1  -  2·2·4  -  5·0·2  =  100  +  0  +  0  -  0  -  16  -  0  =  84 найдем объем пирамиды:   v  = (1/6)·84  =  14.

Вспомним периметр прямоугольника . р=2*(а+б) в нашем случаем а - 4см 5 мм , а б-5 см. р=2*(4см5мм+5см)=9см 5 мм *2 = 18см 5 мм