Найдите угол b треугольника abc, если известно, что высоты, исходящие из вершин а и с, пересекаются внутри треугольника и делятся точкой пересечения в отношении 5: 2 и 4: 5, считая от вершин.

Обозначим треугольник авс(смотри рисунок), ами сн -высоты. треугольники анк и мск подобны как прямоугольные с одинаковым острым углом(углы нка и мкс равны как вертикальные). далее из треугольника мкс выражаем синус "альфа" через стороны , находим угол всн=45. тогда из треугольника внс находим угол в=90.

тело, которое получится вращением равнобедренного треугольника вокруг оси, проходящей через вершину основания параллельно боковой стороне, - цилиндр, из которого "вырезаны" конусы с   основаниями, равными основаниям цилиндра,   и общей вершиной. 

радиусом  r оснований такого тела будет высота данного треугольника, проведенная к   его боковой стороне. 

примем площадь оснований   цилиндра и конусов равной s, высоту одного из них h1, другого – h2. 

объем цилиндра vцил.=s•h, где s - площадь основания ( круга радиуса r), н- длина боковой стороны стороны треугольника. 

vцил.=а•πr² 

обозначим объемы конусов v1  и v2, тогда

v1=s•h1/3

v2=s•h2/3  сумма их объёмов v1+v2=s•(h1+h2)/3

  h1+h2=a 

v1+v2=s•a/3=a•πr²/3 

тогда v=vцил-(v1+v2)

v=а•πr² - а•πr²/3=а•πr²•2/3

r=a•sinα   s=π•(a•sinα)²

v=а•π•(a•sinα)²•2/3=a³•sin²α•2/3