Дан равносторонний треугольник. точка а удалена от плоскости на 8 см. расстояние от точки до всех вершин 10 см. найти площадь треугольника

точка а удалена от плоскости на 8 см - это перпендикуляр (h) к плоскости

расстояние от точки а до всех вершин 10 см - это наклонная (n)

проекция наклонной - это 2/3 медианы(m)  равностороннего треугольника

по теореме пифагора

(2/3m)^2 = n^2 - h^2 = 10^2 - 8^2 = 36

(2/3m)^2 = 36

2/3*m = 6

m = 9 см

медиана - она же высота в  равностороннем треугольнике

все углы равны  в  равностороннем треугольнике

тогда сторона  в  равностороннем треугольнике a = m / sin60 

площадь треугольника  

s =1/2*a^2*sin60 = 1/2 *(m / sin60)^2 *sin60 =1/2*9^2 /sin60=27√3 см2

ответ  27√3 см2

по теореме пифагора радиус описанной окружностибудет равен:

r^2=10^2-8^2=36

r=6

r=а/(корень из3)

6=а/(корень из3)

а=6корней из3, где а - сторона треугольника.

s равностороннего треугольника =а^2* (корень из3) / 4 = (6корней из3)^2 * (корень из3) / 4= (108корней из3)/4=27корней из3.