Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см,а гипотенуза 13 см. найдите второй катет и площадь треугольника.

1. осевое сечение цилиндра - прямоугольник.

из прямоугольного треугольника abd:

ad = ac · sin 30° = 8 · 1/2 = 4 см - высота цилиндра,

ab = ac · cos 30° = 8 · √3/2 = 4√3 см - диаметр основания.

r = 1/2 ab = 2√3 см

v = sосн · h = πr²h = π · (2√3)² · 4 = π · 12 · 4 = 48π см³

2. пусть н - середина хорды ав, тогда он - медиана и высота равнобедренного треугольника аов (оа = ов как радиусы).

значит он = 4 см - расстояние от оси до хорды.

он - проекция сн на плоскость основания, значит сн⊥ав по теореме о трех перпендикулярах.

сн = 13 см - расстояние от центра верхнего основания до хорды.

δсон: ∠сон = 90°, по теореме пифагора:

            со = √(сн² - он²) = √(13² - 4²) = √(169 - 16) = √153   = 3√17 см - высота цилиндра.

δонв: ∠онв = 90°, нв = 1/2 ав = 3 см, он = 4 см, египетский треугольник, ⇒ ов = 5 см - радиус основания.

итак, r = 5 см, h = 3√17 см,

v = sосн · h = πr²h = π · 5² · 3√17 = π · 25 · 3√17 = 75√17π см³

3. сечение цилиндра, параллельное оси - прямоугольник.

пусть н - середина ав, тогда он - медиана и высота равнобедренного треугольника аов (оа = ов как радиусы).

значит он = 4 см - расстояние от оси до сечения.

δаон: ∠ано = 90°, он = 4 см, оа = 5 см, египетский треугольник, ⇒

ан = 3 см, а ав = 6 см.

δавс: ∠авс = 90°, по теореме пифагора

            св = √(ас² - ав²) = √((6√5)² - 6²) = √(180 - 36) = √144 = 12 см - высота цилиндра.

итак, r = 5 см, h = 12 см,

v = sосн · h = πr²h = π · 5² · 12 = π · 25 · 12 = 300π см³

4. провод имеет форму цилиндра, высота цилиндра - его длина.

r = d/2 = 1 мм = 0,001 м

масса провода:

m = v·ρ

v = m/ρ = 5,6 / (8,9 · 10³) = 56/89 · 10⁻³ м³

sосн = πr² = π · (10⁻³)² = π · 10⁻⁶ м²

v = sосн · h

h = v / sосн

h = 56/89 · 10⁻³ / (π · 10⁻⁶) = 56/(89π) · 10³ м ≈ 200 м

5. пятно имеет форму цилиндра с высотой 1 мм, объемом 1 м³.

v = 1 м³,

h = 1 мм = 10⁻³ м

sосн = v / h = 1 / 10⁻³ = 1000 м²