Площадь треугольника авс равна 198. биссектриса al пересекает медиану вм в точке к. найдите площадь четырёхугольника мсlк, если известно, что вl: cl=7: 4. (сделайте чертёж)

да не нужен тут чертеж, тут голова нужна : ). просто постройте какой-то треугольник и проведите в нем биссектрису угла а и медиану к стороне ас. 

смотрите, как это решается.

если площадь авс равна s (по условию это 198, потом подставим), то площадь авm равна s/2. 

sabm = s/2

(если у двух треугольников общая высота - в данном случае это растояние от в до ас, то отношение площадей равно отношению сторон, к которым эта высота проведена - это будет использовано еще несколько раз)

далее, cl/bl = 4/7 = ac/ab, и ам = ас/2, поэтому ам/ab = 2/7, но это означает, что mk/kb = 2/7;

то есть мк/bm = 2/(2 + 7) = 2/9 и kb/bm = 7/9 (ясно, что в сумме 1 и отношение 2/7)

но это означает, что площадь амk составляет 2/9 площади авм (высота общая, расстояние от а до вм, стороны относятся как мк/bm =  2/9)

samk = sabm*2/9 = s/9;

ну, и  cl/bl = 4/7, поэтому cl/cb = 4/(4 + 7) = 4/11;

то есть площадь треугольника acl соствляет 4/11 площади авс (тот же прием - высота общая - это расстояние от а до вс, стороны относятся как 4/11).

sacl = s*4/11;

площадь mclk равна разности площадей треугольников acl и amk 

smclk = sacl - samk = s*4/11 - s/9;

ну, и осталось подставить s = 198.

smclk = 198*4/11 - 198/9 = 18*4 - 22 = 72 - 22 = 50;

Полное условие : может ли прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекать каждую его сторону? почему? ответ. нет, не может, потому что прямая, не проходящая через угол пересекая одну сторону пересечет еще, согласно теореме только одну из сторон. это понятно, в противном случае, прямая бы пересекала три точки, не лежащие на одной прямой.