Точки m и n середины сторон соответственно bc и cd параллелограмма abcd. отрезки am и bn пересекаются в точке о.найдите отношение mo/oa.

                  в               m                 c

                            o

                                            n

a                               d                               k

продлим bn до пересечения с ad   в точке k.   треугольники   bnc   dnk   равны по стороне и прилежащим к ней углам (cn=dn, угол bnc=dnk - вертикальные, угол   bcn=ndk - внутренние накрест лежащие при bc||ak, секущей cd). значит bc=ad=dk, ak=2ad=4bm (bc=2bm).

треугольник bom подобен аок (по трем углам: вом=аок-вертикальные, оак=вмо-внутренние накрест лежащие при параллельных вм и ак, секущей ам, третьи углы равны из равенства двух первых углов). тогда вм: ак=вм: 4вм=1: 4 и ов: ао тоже 1: 4

.

пусть o — точка пересечения диагоналей параллелограмма abcd. тогда o — середина диагонали bd. значит, co — медиана треугольника bcd, а т.к. dm и bn — две другие медианы этого треугольника, то они пересекаются в точке, лежащей на отрезке co, а значит, и на отрезке ac.