Пусть n-натуральное число, докажите что число 2^2^n+2^2^ (n-1)+1 имеет по крайней мере n различных простых делителей

139

204

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

kotikdo5

Математика

4,7(89 оценок)

Положим что данное выражение равно s(n) , и преобразуем s(n)=2^(2^n)+2^(2^(n-1))+1=(2^(2^(n-1))+1)^2-2^(2^(n-1)) 1) используя формулу разности квадратов , разложим на множители число s , для определенного n имеем s(n)=(2^(2^(n-(2^(n-2))+1)*(2^(2^(n-(2^(n-3))+1)*(2^(2^(n-(2^(n-4))+1)**7 (7-это число s при n=1) 2) докажем что каждые два множителя s (вышеописанные множители) взаимно просты. 3)для начала возьмём какие-нибудь два числа вида 2^(2^n)+1 и 2^(2^k)+1 , тогда докажем что нод этих чисел будет равен 1. без потери общности , положим n> k> 0 , то все по той же разности квадратов получим 2^(2^n)+1=(2^(2^(n-1))+1)*(2^(2^(n-2))+1)*(2^(2^(n-3))+1)*(2^k)+1)**5 + 2 то есть это говорит о том что, число 2^(2^(n))+1 при деланий на 2^(2^(k))+1 даёт остаток равный 2 и нод(2^(2^(k))+1 , 2)=1 так как числа рассматриваемого вида , всегда нечётна . то есть числа взаимно простые. 4)теперь докажем пункт номер 2. рассмотрим числа вида x=2^(2^k)-2^(2^(k-1))+1 и y=2^(2^m)-2^(2^(m-1))+1 используя формулу (a^2-a+1)(a+1)=a^3+1, заменим (2^(2^(k-1))+1)=u и (2^(2^(m-1))+1)=v получим что x*(2^(2^(k-1))+1)=x*u=2^(3*2^(k-1))+1=a , аналогично y*(2^(2^(m-1))+1)=y*v=2^(3*2^(m-1))+1=b для чисел a и b рассуждая абсолютно аналогично как и в пункте 3 , следует что нод (a,b)=1 то есть они взаимно просты. стало быть если нод(x*u,y*v)=1 и нод(u,v)=1 значит и нод(x,y)=1 тем самым пункт 2 доказан. 5) если записать s(n)=a1*a2*a3*a4***a(n-1)*..*7 из пункта 2 следует (то что любые два числа взаимно просты) , это значит что у s(n) не существует простых делителей вида p^a где p-простое число , "a" целое положительное. в свою очередь это значит что если числа a1,a2,a3 итд являются сами простыми , то у него будет ровно n делителей , если хотя бы какое одно число не простое , то при разложений его , на простые множители , учитывая пункт 2, очевидно что будет больше чем n делителей.

Victoria119900

Математика

4,8(57 оценок)

3кг масла-75 л молока х - 100л,решаешь пропорцией 75*х=3*100 х=300: 75=4 кг масла

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Математика

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.