Вправильной шестиугольной призме abctema1b1c1t1e1m1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от середины ребра аа1 до прямой вт1

тут красот не будет, у нет технически простого решения. 

1. надо найти вт. 

если центр правильного шестиугольника в основании обозначть о, то всто - ромб с углом 120 градусов, и стороной 1, поэтому его большая диагональ вт равна  √3 (удвоенная высота правильного треугольника). само собой, в1т1 имеет ту же длину  √3.

2. треугольник вв1т1 - прямоугольный с катетами вв1 = 1 и в1т1 =  √3, отсюда гипотенуза вт1 = 2.

3. теперь надо построить плоскость, проходящую через вт1 и середину аа1 - пусть это точка р.

(построить плоскость одновременно означает - построить сечение, хотя все детали этого сечения не понадобятся.)

4. в плоскости грани авв1а1 надо провести вр и продолжить до пересечения с продолжением а1в1 в точке к. поскольку ар = ра1, то в1а1 = а1к, и в1к = 2, отсюда из треугольника вв1к с катетами 1 и 2 находится вк =  √5.

5. в плоскости верхнего основания надо соединить точку к с точкой т1. из треугольника в1т1к с катетами 2 и  √3 получается кт1 =  √7. 

6. в треугольнике вт1к точка р (середина аа1) является серединой вк. поэтому расстояние от неё до вт1 равно половине высоты треугольника в1кт к стороне вт1.

7. вот к чему свелась . 

в треугольнике вт1к со стронами вт1 = 2, вк =  √5, кт1 =  √7, надо найти половину высоты к стороне вт1.

(конечно, можно вычислить площадь по формуле герона, и так найти высоту, но тут можно сильно замучатся с корнями : ) хотя я бы посоветовал хотя бы попробовать такой метод.)

8. надо теперь нарисовать плоский чертеж такого треугольника - так проще решать. далее речь идет только о треугольнике вт1к. 

пусть кн - высота к вт1. обозначим кн = h; bh = x;

тогда из треугольников bkh и kht1 получается 

x^2 + h^2 = 5;

(2 - x)^2 + h^2 = 7;

если раскрыть скобки, то

4 - 4*x + x^2 + h^2 = 7; но  x^2 + h^2 = 5; откуда 4 - 4*x = 2; x = 1/2; h^2 = 5 - 1/4 = 19/4;

h = √19/2;

а искомое расстояние равно половине h, то есть

ответ  √19/4;

вроде

Дано:

∠ABK = ∠CBK

∠BKA = ∠BKC

AB = 7 см.

Найти:

BC.

Решение.

Рассмотрим △ABK и CBK.

∠ABK = ∠CBK, по условию.

∠BKA = ∠BKC, по условию.

BK - общая сторона.

=> △ABK = △CBK, по 2 признаку равенства треугольников.

=> AB = BC = 7 см.

ответ: 7 см.