Между какими числами заключено число 3 корня из 5

вообще то это можно доказать для любого конечного число нулей, 01 001 0001 итд

то есть нам надо найти что существует число n∈n , при котором существует некая степень k, при которой 3^k - 1 делится на 10^n (в данном случае на 1)

смотрим на три в степени 3^1 3^2 3^3 чисел бесконечно много

рассмотрим набор из 1 степеней тройки и рассмотрим остатки от деления на 1(в общем случае на 10^n)

нацело ни одно из чисел на 1 не делится но по принципу дирихле существуют как минимум 2 числа имеющие одинаковые остатки

обозначим эти числа m > n, тогда

раз они имеют одинаковые остатки при делении на 1 то разность их делится на 1

3^m - 3^n = 3^n*(3^(m-n) - 1)

3^n не делится нацело на 1

значит нацело целится 3^(m-n) - 1

и значит число 3^(m-n) оканчивается на 0001

да такое число 1 = 10^4 (в общем случае также доказывается)