Найдите н.о.д чисел наиболее удобным способом; 48,240и 264 только полностью

даны вершины тетраэдра а(-1; -5; 2), b(-6; 1; -1, )c (3; 6; -3) и д (-10; 6; 7).

1) длина ребра ас = √(())² + ())² + (-3-2)²) =

                                = √(16 + 121 + 25) = √162 ≈ 12,727922.

2) площадь грани асд равна половине модуля векторного произведения (ас х ад).

вектор ас = (4; 11; -5), вектор ад = (-9; 11; 5).

решение:   s = (1/2) |a × b|

найдем векторное произведение векторов:   c = a × b

a × b =  

i j k

ax ay az

bx by bz

  =  

i j k

4 11 -5

-9 11 5

  = i (11·5 - (-5)·11) - j (4·5 - (-5)·(-9)) + k (4·11 - 11·(-9)) =  

  = i (55 + 55) - j (20 - 45) + k (44 + 99) = {110; 25; 143}.

найдем модуль вектора:

|c| = √(cx² + cy² + cz²) = √(110² + 25² + 143²) = √(12100 + 625 + 20449) = √33174 = 3√3686.

найдем площадь треугольника:

s =   (1/2)*3√3686   =   3√3686/ 2   ≈ 91.068655 кв.ед.

3) объем тетраэдра равен (1/6) смешанного произведения векторов (ав х ас) х ад.

вектор ав = (-5; 6; -3).

(ав х ас) =  

i j k

-5 6 -3

4 11 -5

  = i (6·(-5) - (-3)·11) - j )·(-5) - (-3)·4) + k )·11 - 6·4) =  

  = i (-30 + 33) - j (25 + 12) + k (-55 - 24) = {3; -37; -79}.

объем пирамиды    

          x y z  

ab*ac 3 -37 -79  

    ad -9 11 5  

произведение равно (-27; -407; -395) =   -829.

v = (1/6)*829 = 138,1667 куб.ед.  

4) высота тетраэдра де равна h=3v/sосн.

sосн = (1/2)*|abxac) = (1/2)*√(3² + (-37)² + (-79)²) =

          = √(9 + 1369 + 6241) = √7619   ≈ 43,643442.

н = 3*(829/6)/(√7619/2) = 829/√7619 ≈ 9,497418.