Вокружность вписан четырёхугольник abcd со сторонами: ab=a, bc=b, cd=c, ad=d доказать, что 1) его площадь s=, где p=(a+b+c+d) 2) если указанный четырёхугольник abcd можно описать около окружности, то его площадь будет равна .

Пусть   abcd   вписанный   четырехугольник   ,ab=a,bc=b , cd =c ,da=d. проведем диагональ  ac.   s=  s(abcd) =  s(abc) +s(adc) =(1/2)absinb +  (1/2)cdsind= (1/2)absinb +  (1/2)cdsin(180° -∠b)=(1/2)absinb +  (1/2)cdsin∠b =(1/2)(ab + cd)sin∠b.   * * *  ∠d +∠b  =180° , sin∠d  =sin(180° -∠b) =sin∠b  ;   cos∠d  = -  cos∠b   * * *    из треугольника  abc   по теореме косинусов : ac² =a² +b² -2abcos∠b .   (1) аналогично   из треугольника  adc :   ac²= c²+d² -2cdcos∠d ; ac²=c²+d² +2cdcos∠b  .       (2) из уравнений (1) и (2) получаем    : a² +b² -2abcos∠b =  c²+d² +2cdcos∠b  ⇒ cos∠b =  (a²+b² -c² -d²)/2(ab+cd) . sin²∠b =1-  cos²∠b =1- ((a²+b² -c² -d²)/2(ab+cd))² = (1-  (a²+b² -c² -d²)/2(ab++  (a²+b² -c² -d²)/2(ab+cd))= ((c+d)² -(a-b)²)/2(ab++b)² -(c-d)²)/2(ab+cd)) = (c+d +b-a)(c+d +a-b)(a+b+d -c)  (a+b+c -d)/ (2(ab+cd))² = || p =  (a+b+c+d)/2|| = (2p -2a)(2p -2b)(2p-2c)(2p-2d)  / (2(ab+cd))² = 4(p -a)(p -b)(p-c)(p-d)  / (ab+cd)² . sin∠b =2√ ((p -a)(p -b)(p-c)(p-d) )  / (ab+cd)   .следовательно  :   s =(1/2)(ab + cd)sin∠b =(1/2)(ab + cd)*2√ ((p -a)(p -b)(p-c)(p-d) )  /  (ab+cd) = √ ((p -a)(p -b)(p-c)(p-d) ). 2 .  если указанный четырёхугольник abcd можно описать около окружности ,то : b+d= a+c (сумма противоположных сторон описанного четырехугольника равны). p-c =  (a+b+c+d)/2 -  c =a+c -c =a  ;   * * * замена  b+d =  a+c   * * *  p-d =  (a+b+c+d)/2 -  d =b+d -d=b ;     * * * замена    a+c=b+d   * * * p-a =  (a+b+c+d)/2 -  a =a+c -a =c ;     * * * замена  b+d =  a+c   * * * p-b =  (a+b+c+d)/2 -  b =b+d -b=d .   * * * замена    a+c=b+d   * * * s =√(abcd) .

Доказательство смотри в  приложении

Найдем координаты центра: x = 1+1/2=1 y= 1+5/2=3 o (1; 3) найдем длину r: r = √(1-1)^2+(3-1)^2=√0+4=2 уравнение окружности: (x-1)^2+(y-3)^2=4