1) тело движется по прямой так что расстояние s от начальной точки изменяется no закону s = 3t + t^2 (м), где t - время движения в секундах. найдите скорость тела через 3 с после начала движения. 2) найти точки экстремума функции f(x) = 3 + 7x - 4х^2 3) тело движется по прямой так, что расстояние s ( в метрах) от него до точки в этой прямой изменяется по закону s(t) = 2t^3 - 6t^2 + 6 (t - время движения в секундах). чему будет равно ускорение, через 2 секунды движения? 4) дана функция f(x) = 2x^2 - х + 1. найти координаты точки ее графика, в котором угловой коэффициент касательной к нему равен 7. 5) исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба f(x) = 2х^3 + 9x^2 - 24x.

1) тело движется по прямой так что расстояние s от начальной точки изменяется no закону s = 3t + t² (м), где t - время движения в секундах. найдите скорость тела через 3 с после начала движения.решение: найдем функцию скорости как производную от функции расстояния по времени: найдем значение скорости через 3 с после начала движенияv = 3 + 3² = 3 + 9 = 12 м/сответ: 12 м/с 2) найти точки экстремума функции f(x) = 3 + 7x - 4х²решение: найдем производную функции f'(x) = (3 + 7x - 4х²)' = ( 3)' + (7x)' - (4х²)' = 0 + 7 - 4*2x = 7- 8xнайдем критические точки          f'(x)=0  ⇔ 7-8x=0                            8x=7                              x=0,875на числовой прямой отобразим эту точку и знаки производной полученные по методу подстановки. например при х=0 f'(0)=7> 0    +       0     -            0,875              функция возрастает на промежутке (-∞; 0,875) так как производная на этом интервале числовой прямой больше нуля функция убывает на промежутке (0,875; +∞) так как производная на этом интервале числовой прямой меньше нуляв точке х=0,875 функция имеет локальный максимум.у(0,875) =3+7*0,875+4*(0,875)² = 12,1875ответ: х=0,875; y=12,1875 - максимум 3) тело движется по прямой так, что расстояние s ( в метрах) от него до точки в этой прямой изменяется по закону s(t) = 2t³ - 6t² + 6 (t - время движения в секундах). чему будет равно ускорение, через 2 секунды движения? решение:   найдем функцию скорости как производную функции расстояния v(t) =s'(t) = (2t³ - 6t² + 6)' = (2t³)' - (6t²)' + (6)' =2*3t² -6*2t +0 = 6t² -12t (м/с)найдем функцию ускорения как производную скорости по времени  a(t) = v'(t) = (6t² - 12t)' = (6t²)' - (12t)' = 6*2t  -12 =12t - 12  (м/с²)найдем ускорение тела через 2 секунды после начала движенияа(2) =12*2-12=12 м/с²ответ 12 м/с² 4) дана функция f(x) = 2x² - х + 1. найти координаты точки ее графика, в котором угловой коэффициент касательной к нему равен 7.решение: угловой коэффициент касательной функции в точке равен производной функции в этой точкенайдем производную функции f'(x) = (2x² - х + 1)' = 4x-1поскольку угловой коэффициент касательной равен 7 то можно записать, что              4х - 1 = 7                    4х = 8                      х = 2f(2) = 2*2² -2+1 = 8  - 1 =7ответ: х=2; у=7  5) исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба f(x) = 2х³+ 9x² - 24x. решение: найдем первую производную функции f'(x) = (2х³ + 9x² - 24x)'  =2*3x²+9*2x-24 = 6x² + 18x - 24найдем вторую производную функции f"(x) = (6x² + 18x - 24)' = 6*2x + 18 - 0 =12x+18найдем критические точкиf"(x)=0  ⇔ 12x+18 =0                        12x = -18                            x=-1,5на числовой прямой отобразим эту точку и знаки второй производной      -            0            +                -1,5функция вогнута вниз на интервале х∈(-1,5; +∞) так как вторая производная больше нуля функция выпукла вверх на интервале х∈(-∞; -1,5) так как вторая производная меньше нуля в точке  х=-1,5 функция имеет точку перегиба y(-1,5) = 2(-1,5)³+ 9(-1,5)² - 24(-1,5) = 49,5 ответ: вогнута вниз на интервале х∈(-1,5; +∞) ; выпукла вверх на интервале х∈(-∞; -1,5); х=-1,5 y=49,5 точка перегиба

Отношение 3 к 9 равно отношению 15 к х