Из точки а к плоскости проведены наклонные ab и ad, длины которых равны 17см и 10см соответственно. найдите длину проекции второй наклонной, если длина проекции первой наклонной равна 15см.

смотрите, как можно решать такие в уме. 

правильный тетраэдр все равно на какую грань ставить : )) поэтому можно искать расстояние от центра окружности, описанной вокруг боковой грани, до основания тетраэдра.

а центр описанной окружности у правильного треугольника находится в точке пересечения медиан (высот, биссектрис и пр), то есть на апофеме в точке 2/3 апофемы от вершины пирамиды (и 1/3 от основания). поэтому расстояние от этой точки до плоскости основания будет 1/3 от высоты пирамиды (тетраэдра). 

осталось только найти высоту тетраэдра и разделить её на

высота тетраэдра находится из прямоугольного треугольника, составленного из неё, бокового ребра и проекции бокового ребра на основание, которая равна 2/3 высоты треугольника (это радиус описанной вокруг правильного треугольника окружности). 

высота тетраэдра корень(2/3), а искомое расстояние (1/3)*корень(2/3)