Сстереометрией нужно на завтра. в пирамиде, все грани которой правильные треугольники, найдите угол между высотами этих треугольников, проведенными к общему ребру.

  двугранный угол при боковой грани для правильного тетраэдра, очевидно, равен углу наклона боковой грани к плоскости основания:

 

  рассмотрим правильный тетраэдр  sa1a2a3  с длиной ребра  a. sb u ba1 высоты к  a1a3 ,  так как этот треугольник является правильным, то его высота одновременно является биссектрисой и медианой. медианы, как известно, точкой своего пересечения делятся в отношении  2  :   1, считая от вершины. несложно найти и точку пересечения медиан. так как тетраэдр правильный, то этой точкой будет точка  o  – центр правильного треугольника    основание высоты правильного тетраэдра, опущенной из точки  s, также проектируется в точку  o. значит, во=1/3 а3в =а/2 корня из3    в правильном треугольнике    длина апофемы тетраэдра равна sb= а корней из3/2      значит     cosb=bo/bs =1/3  

 

Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. значит катеты относятся как 15: 20 или 3: 4. пусть катеты равны 3х и 4х, тогда по пифагору (15+20)²=9х²+16х². отсюда х²=49, х=7. ответ: катеты равны 21 и 28.