Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (x_0=0): y^''-4y^'+8y=8x^2+4; y_0=2; 〖y'〗_0=3;

Характеристическое уравнение r²-8r+16=0; r1=r2=4. общее решение однородного уравнения: y=(c1 +c2•х) •e^4x общее решение – y=y+y1, где y1 - частное решение заданного уравнения, которое ищется в виде y1=ax²•e^4x. => y1’= 2ax•e^4x+4ax²•e^4x=2e^4x•(ax+2ax²); y1”=8e^4x•(ax+2ax²)+2e^4x•(a+4ax)= e^4x•(16ax²+8ax+8ax+2a) тогда 16ax²+16ax+2a-16ax-32ax²+16 ax²=1 2a=1 =: > a=1/2 или y1=(x²•e^4x)/2 тогда общее решение заданного уравнения: у=(c1 +c2•х) •e^4x+(x²•e^4x)/2=(e^4x)•( c1 +c2•х+x²/2) находим у’ и, подставляя заданные начальные условия, находим с1 и с2 для этих условий. у'=4•(e^4x)•( c1 +c2•х+x²/2)+ (e^4x)•(c2+x) y(0)=c1=0; y’(0)=4c1+c2=1 => c2=1. подставляя найденные значения с1 и с2 в общее решение получаем искомое частное решение заданного уравнения у= (e^4x)•(х+x²/2).                     пыталась   как   можно проще     примерно  

пусть собственная скорость лодки - у, скорость реки - х , тогда

х+у=23 км/ч скорость лодки по течению

у-х=17  км/ч  скорость лодки против течения

решение:

из второго выражения выразим у=17+х и подставим в первое выражение вместо у. получим

х+17+х=23

2х+17=23

2х=23-17

2х= 6

х=3

  тогда у=17+3=20 

ответ: скорость реки 3км/ч, лодки - 20 км/ч