Доказать, что любой вектор в пространстве раскладывается на три компланарных вектора

векторы называются  компланарными, если имеются равные им вектора, параллельные одной плоскости.

любые два вектора компланарны. любые три вектора, среди которых есть два коллинеарных, компланарны.

1. ac = ce, bc = cд, ∠bca=∠ecд (как вертикальные) ⇒ δabc = δдсе по двум сторонам и углу.

2. треугольник равнобедренный, даны две стороны. рассмотрим два варианта:

  а) основание = 11 см, стороны = 8 см ⇒ p = 27

  б) основание = 8 см, стороны = 11 см ⇒ p = 30

3. ∠b = ∠c, bo = co, ∠cod = ∠boa (как вертикальные) ⇒ δabo = δcdo по стороне и двум углам ⇒ao = od ⇒δaod равнобедренный по определению.

4. ae = dc ⇒ ad = ec (т. к ae - de = cd - de).

∠kac = ∠kca, т. к. ak = kc (равнобедренный треугольник).

имеем: ad = ec, ∠kac = ∠kca, ∠bda = ∠fec ⇒ δabd = δfec по стороне и двум углам ⇒ ab = fc.

так как ak = kc, bk = ak - ab, kf = kc - fc, то bk = kf.

5. рассмотрим δpsk: ∠psk = ∠sek = 90°, ∠spk = 65° ⇒ ∠skp = 90° - 65° =   25° ⇒ ∠ske = 50° - 25° = 25°

∠pek = 90° - ∠ske = 90° - 25° = 65°

6. пусть kd — серединный перпендикуляр в δabd. тогда так как ak = kb и kd ⊥ ab, то δabd равнобедренный (в равнобедренном δ высота является медианой и биссектрисой) ⇒ ad = bd.

известно, что p(δbdc) = 64. p(bdc) = bc + bd + dc. ad = bd ⇒ p(bdc) = bc + ad + dc, и так как ac = ad + dc, то p(bdc) = bc + ac = 64 ⇒

ac = 64 - 27 = 37