Вычислить углы равнобедренного треугольника, в котором центр вписанной и описанной окружностей взаимно симметричны относительно оснований треугольника.

Введём обозначения: r - радиус вписанной окружности, r - радиус описанной окружности, а - сторона основания треугольника, в - боковая сторона треугольника, х - угол при основании треугольника. известно, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, а описанной - на пересечении срединных перпендикуляров. имеем  . опустим перпендикуляры из центров окружностей на боковую сторону. получим прямоугольную трапецию с основаниями r и r, вертикальная сторона равна (а/2) - (в/2), наклонная равна 2r (центры равно удаленны от основания). острый угол трапеции равен углу х как взаимно перпендикулярный. выразим сторону в через сторону а:   . далее имеем  . подставим в уравнение значения b и  r, выраженные через а: . решение этого уравнения даёт один из корней: . это соответствует х = 4*(180/20) = 4*9 = 36 градусов.

Ширина х ( см )  длина ( х + 12 ) cм  площадь х*( x + 12 )  после увеличения ширина  ( х + 2 ) см  после увеличения длина  ( х + 12 + 3 ) = ( х + 15 ) см  после увеличения площадь ( x + 2 )*( x + 15 )  x*( x + 12 ) + 80 = ( x + 2 )*( x + 15 )  x² + 12x + 80 = x² + 15x + 2x + 30  x² + 12x + 80 = x² + 17x + 30  12x + 80 = 17x + 30  5x = 50  x = 10 ( cм ) ширина  10 + 12 = 22 ( см ) длин  ответ 10 см и 22 см