Тема: применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы. 1.докажите,что заданная функция возрастает: y=cos x+2x 2.докажите,что заданная функция убывает: y=sin 2x-3x 3.определите промежутки монотонности функции y=x^2-5x+4

1)  y   =cosx+2x.   y ' =(cosx+2x) ' =(cosx) ' +(2x)' =-sinx+2*(x)' = -sinx+2*1 =2 -sinx   >   0,   т.к.   -1  ≤  sin  x≤  1  .  y ' > 0  ⇒ функция возрастает (y  ↑). 2) y  =sin2x -3x.   y '=(sin2x -3x)' =  (sin2x)' -(3x)' =(cos2x)*(2x)' -3*(x)'  =(cos2x)*2*(x)' -3*1 .=cos2x*2*1 -3= 2cos2x -  3   <   0 следовательно  функция   убывает   (у  ↓). * * *   -1≤cos2x≤1⇔ -2*1≤2*cos2x≤2*1 ⇔  -2 -3  ≤2cos2x -3  ≤2 -3  ⇔ -5  ≤2cos2x -3  ≤ -1 * * * 3) y =x² -5x +4 .   y '= (x² -5x +4 )'   =(x²)' -(5x)' +(4)' =2x -5 +0  =2x -5. y '=0⇒ 2x-5=0⇒ x =2,5. функция  убывает ,  если  y ' <   0⇒2x -5.< 0  ⇒2x < 5⇒x< 2,5 иначе  .x∈  (-∞; 2,5) функция возрастает,  если  y ' < 0  2x -5.> 0  ⇒2x > 5⇒x> 2,5 иначе  .x∈  (2,5 ; ∞) ответ:     у  ↓ ,  если  x∈  (-∞; 2,5)  и    y  ↑ ,  если   x∈  (2,5   ;   ∞)  . ===================== y '         -                       +   2,5 y  ↓                min               y   ↑

Выразим y из первого равенства : y =1-x подставим y во второе равенство . получим: x^2+2(x-1)=33 x^2+2x-2-33=0 x^2+2x-35=0 по теореме обратной теореме виета: x1+x2=-2 x1*x2=-35 отсюда   x1=-7                x2=5 найдем y : y=x-1 y1=-7-1=-8 y2=5-1=4   ответ (-7; -8); (5; 4)