1. по кругу расставлены 100 чисел. известно, что каждое число равно среднему арифметическому двух соседних. докажите, что все числа равны.

а)очевидно, что случай, когда все числа равны, является решением

б)предположим, что все числа не равны между собой

тогда возьмем наибольшее из них(оно, очевидно, найдется, иначе, если его нет, то все равны между собой и мы приходим к п.а)

обозначим наибольшее число буквой x 

рассмотрим соседей наибольшего числа - если они оба меньше его, то, очевидно, их среднее арифметическое меньше x - противоречие

но ни один из соседей не может быть больше x, так как мы взяли x наибольшим числом

отсюда получаем, что оба соседа x в точности равны ему самому, следовательно, число, стоящее слева или справа от соседа числа x, так же равно x(т.к. они должно удовлетворять уравнению (x+y)/2=x (где y - сосед соседа x))

отсюда получаем, что все числа в круге равны x => равны между собой, что и требовалось доказать 

2ч 3ч 4ч 5ч 6ч

30 км 45км 60км 75км 90км

210 км 315км 420км 525км 630км

7ч 8ч

105км 120км

735км 840км