Две касающиеся внешним образом в точке k окружности, радиусы которых равны 39 и 42, вписаны в угол с вершиной a . общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку k , пересекает стороны угла в точках b и c . найдите радиус окружности описанный около триугольника авс

Если из точки b провести перпендикуляр к ab (или из точки с - перпендикуляр  к ac) то он пересечет линию центров в точке e, и ae - диаметр d описанной вокруг abc окружности. легко видеть ab  = d*cos(α/2); α = ∠cab; площадь s = ab^2*sin(α)/2;   s = r*(ab + bk) = r*ab*(1 + sin(α/2)); r = 39 - радиус вписанной в abc окружности. аналогично s = ρ*(ab - bk) = ρ*ab*(1 - sin(α/2)); ρ = 42 - радиус вневписанной окружности. отсюда sin(α/2) = (ρ - r)/(ρ + r); если кому-то неизвестна связь между площадью и радиусом вневписанной окружности (то есть окружности, которая касается стороны a  и продолжений двух других сторон) s = ρ(p - a); то это выражение sin(α/2) = (ρ - r)/(ρ + r); легко увидеть непосредственно - если провести радиусы в точки касания, и из центра меньшей окружности провести прямую параллельно ab. там получится прямоугольный треугольник с катетом ρ - r гипотенузой ρ + r и острым углом α/2; получилось ab^2*sin(α)/2 = r*ab*(1 + sin(α/2)); d*cos(α/2)*sin(α)/2 = r*(1 + sin(α/2)); d*(cos(α/2))^2 = r*(sin(α/2) + 1)/sin(α/2); d*(1 - (sin(α/2))^2) = r*(sin(α/2) + 1)/sin(α/2); d*(1 - sin(α/2)) = r*/sin(α/2); или d*(1 - (ρ - r)/(ρ + r)) = r*(ρ + r)/(ρ - r); 2*d = 4*r = (ρ + r)^2/(ρ - r); r = (42 + 39)^2/(4*3) = 2523/4 = 630,75;

∠а = 90 -  ∠в = 90 - 60 = 30° катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, отсюда:   ав = 2вс = 2*9 = 18 см  ответ: 18 см.