Около окружности описана равнобедренная трапеция. а) докажите, что ее диагональ проходит через середину отрезка, концы которого – точки касания окружности с боковыми сторонами трапеции. б) найдите отношение оснований трапеции, если известно, что площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет 3/8 площади трапеции.

  положим что это верно , то есть  делить   ,       точки касания ,      тогда и вторая диагональ   делить    из-за того что трапеция равнобедренная .      продлим  за точки    , тогда и замечательного свойства трапеций , того что отрезок соединяющий диагонали и основания , проведенный из вершины проходит через одну точку , но так как трапеция  равнобедренная , получим   что прямая проведенная с вершины треугольника   , будет делить    на  , но так как     , то и  и точки пересечения диагоналей и    будут пересекаться в одной точке  ,а значит   изначальное условие было верно .      так как трапеция , равнобедренная , диагонали делят на треугольники ,  два из которых подобны ,   если большее основание и меньшее       равны             тогда        высоты треугольников образованных  отрезками диагоналей и основаниями .   получим        то есть основания относятся как       

1) сторона основания а = √(34² - 30²) = √(1156 - 900) =√256   = 16 см.

so =16² = 256 см².

sбок = рн = 4*16*30 = 1920 см²

s = 256 + 1920 = 2176   см².

v = soh = 256*30 = 7680   см³.

2) сторона основания а равна:

а = 2*√(52² - 48²) = 2√(2704 - 2304) = 2*20 = 40 м.

so = 40² = 1600 м².

sбок = (1/2)ра = (1/2)*4*40*52 = 4160   м².

s = 1600 + 4160 = 5760   м².

v = (1/3)soh = (1/3)*1600*48 = 25600   м³.