Четыре числа образуют прогрессию . если к двум первым прибавить по 1, а к третьему и четвертому числам прибавить 7 и 25, то получится арифметическая прогрессия . найдите числа образующие .

(аn) - арифметическая прогрессия; (bn) - прогрессия. b1 +1 = a1                     b1 + 1 = a1   подстановка b2  +  1 = a2                   b1q +1 = a1 +d                 b1q +1 = b1 +1 +d  ⇒d = b1q  - b1 b3 + 7=    a3                   b1q² + 7 = a1 + 2d           b1q² + 7 = b1 + 1 + 2d b4 + 25 = a4                 b1q³ + 25 = a1 + 3d         b1q³ + 25 = b1 + 1 + 3d сделаем подстановку в 3 и 4 уравнения: b1q² + 7 = b1 +1 + 2(b1q - b1) b1q³ + 25 = b1 + 1 + 3(b1q - b1) теперь надо решить эту систему двух уравнений с двумя неизвестными. каждое уравнение b1q² - 2b1q + b1 = -  6             b1(q² -2q +1) = -6 b1q³ - 3b1q + 2b1 = -24  ⇒       b1(q³ - 3q + 2) = -24 разделим первое уравнение на второе. получим: (q² - 2q +1)/(q³ - 3q + 2) = 1/4⇒ 4q² - 8 q + 4 = q³ - 3q +2⇒q³ - 4q² + 5q -2 = 0 получили уравнение   3-й степени. его корни - это делители свободного члена. возможные корни: +-1; +  -  2 +- 1 не рассматриваем. проверим + - 2 а) q = 2 8 - 16 + 10 - 2 = 0 б) q = -2 -8 -16 - 10 -2  ≠0 вывод: q = 2     b1(q² -2q +1) = -6 b1(4 -4 +1) = -6 b1·1 = -6 b1 = -6 прогрессия: -  6; -  12; -  24; -  48

При каком значении параметра a уравнение |x^2−2x−3|=a имеет три корня?

введем функцию

y=|x^2−2x−3|

рассмотрим функцию без модуля

y=x^2−2x−3

y=(x−3)(х+1)

при х=3 и х=-1 - у=0

х вершины = 2/2=1

у  вершины = 1-2-3=-4

после применения модуля график отражается в верхнюю полуплоскость

при а=0 - 2 корня (нули х=3 и х=-1)

при 0<а<4 - 4 корня (2 от исходной параболы, 2 от отображенной части)

при а=4 - 3 корня (2 от исходной параболы, 1 от вершины х=1)

при а>4 - 2 корня (от исходной параболы)

ответ: 4