Вравнобедренном треугольнике биссектриса угла при основании пересекает боковую сторону, так , что длинна отрезка, прилежащего к вершине, равна удвоенной длине основания треугольника. найти отношение длины биссектрисы к длине основания.

Если b - боковая сторона, a - основание, то отрезки, на которые делит биссектриса боковую сторону, считая от вершины (противоположной основанию), равны 2a и b - 2a; длина биссектрисы l l^2 = ab - (2a)(b - 2a) = 4a^2 - ab; или (l/a)^2 = 4 - b/a; из свойства биссектрисы a/b = (b - 2a)/(2a) = b/2a - 1; если x = b/a; то 1/x = x/2 - 1; или x^2 - 2x - 2 = 0; (x - 1)^2 = 3; x = 1 + √3; (1 - √3 < 0) откуда (l/a)^2 = 3 - √3; l/a = √(3 - √3);

Втреугольнике abd биссектриса ве будет и высотой >   abd -- равнобедренный ab = bd = dc (т.к. ad -- ао = оd = 168/2 = 84 треугольники аве и dве равны (по двум сторонам и углу между их площади тоже для треугольника вес -- еd будет медиана делит треугольник на два равновеликих т.е. площади треугольников bed, ced, aeb равны и = ве*od/2 = 168*84/2 = 84*84 тогда площадь авс = 3*84*84 т.к. ad -- медиана, то площади треугольников abd и adc тоже равны и = 3*84*84/2 с другой стороны площадь abd = 84*во > во = 3*84/2 = 3*42 = 126 по т.пифагора с^2 = 84*84+126*126 = 2*42*2*42+3*42*3*42 = 13*42^2 c = 42v13 = ab bc = 2*c = 84v13 oe = 168-126 = 42 > ае^2 = 84^2 + 42^2 = 5*42^2 ae = 42v5 биссектриса ве делит сторону пропорционально прилежащим ае/с = ес/(2с) > ec = 2*ae ac = 3*ae = 126v5