Втреугольнике авс высота сн, биссектриса сl и медиана см делят угол асв на 4 равных угла. а) докажите, что этот треугольник прямоугольный. б) найдите длины высоты сн, биссектрисы cl и медианы см, если известно, что радиус окружности, описанной около треугольника авс, равен r. p.s. биссектриса у меня получилась r√(2-√2), ответ не опровергните или подтвердите его плз)

Вот некое утверждение, если кто-то докажет, что оно ошибочно, я ему лично пожму руку : пусть высота ch пересекает описанную окружность в точке k, биссектриса cl в точке q, медиана cm в точке p. дуги ak = kq = qp = pb; точки p и k симметричны относительно qm. легко доказать (я тут этого делать не что прямая pm проходит через ортоцентр abc. (то есть точку пересечения высот). а теперь - внимание! : для того, чтобы эта прямая прошла через вершину c, нужно, чтобы вершина c была бы ортоцентром треугольника abc. : то есть этот треугольник - прямоугольный. (странное доказательство, и я жду возражений : ) получается, что, если медиана и высота образуют с биссектрисой равные углы, то треугольник обязательно прямоугольный. это - сильное утверждение, мне не верится, что это на самом деле так). чтобы, если это доказательство будет опровергнуто, решение не удалили, я и другое, тупое доказательство. если обозначить угол между высотой и биссектрисой x, то легко найтиah = hl = h*tg(x); bh = h*tg(3x); mh = h*tg(2x); h = ch; из того, что cm - медиана, следуетtg(3x) - tg(2x) = tg(x) + tg(2x); sin(x)/(cos(3x)*cos(2x)) = sin(3x)/(cos(x)*cos(2x)); sin(2x) = sin(6x); cos(4x)*cos(2x) = 0; единственное приемлемое решение 4x = π/2; то есть ∠acb = π/2; треугольник прямоугольный.его меньший острый угол равен x = π/8; дальше все в этой просто, cm = r; сl = ac = 2r*sin(π/8); ch = ac*cos(π/8) = r*sin(π/4) = r√2/2; вычислить значение z = sin( π/8) можно так1 - 2*(sin( π/8))^2 = √2/2;   sin(π/8) = √(2-√2)/2;

Рассмотрим сечение октаэдра и сферы, проходящее через 4 вершины октаэдра (это сечение делит октаэдр и сферу  пополам). увидим квадрат со стороной, равной длине ребра, вписанный в окружности   радиуса сферы.  радиус окружности, вписанной в квадрат, несложно, это половина диагонали. вся диагональ по теореме пифагора 2*sqrt(2) м, тогда радиус sqrt(2) м. s = 4pir^2 = 4 * pi * 2 = 8pi ответ. 8pi