Точка м равноудалена от всех сторон ромба ,находится на расстоянии 2 см от плоскости ромба.найдите расстояние от точки м до вершин ромба ,если его диагонали 12 см и 16 см

Перефразируем : вершина m  пирамиды равноудалена от всех сторон основания  (ромба   abcd  ), высота mo=2  . пусть ac =16 см ;   bd =12 см.  найти боковые ребра . условие подсказывает, что высота проходит через центр  o  окружности вписанной в основании  (ромб).  эта точка пересечения диагоналей  ac  и   bd. ao=co =ac/2 =16  см/2 =8  см ; bo =co =bd/2 =6  см.  из  δaom по теореме пифагора:     ma =  √(ao² +mo²) =√(8² +2²) =√68 =√4*17 =2√17 (см). mc =ma =  2√17 см.   аналогично найдем mb =md =√(bo² +mo²) =√(6² +2²) =√40=√4*√10=2√10 ((см). ответ  :   2√17 см   ;   2√10 см  .

Пусть проекция точки    на плоскость ромба -- точка  . пусть  основания  перпендикуляров   из на стороны ромба --  (не важно, в каком порядке). тогда, по теореме о трёх перпендикулярах, отрезки  перпендикулярны  отрезку  . таким образом, мы получаем четыре прямоугольных треугольника: , у которых общий катет и равны гипотенузы (по условию  ), значит, все эти прямоугольные треугольники равны друг другу. значит,  , таким образом, точка  так же равноудалена от сторон ромба, то есть лежит в центре вписанной окружности ромба, то есть на пересечении биссектрис, то есть это точка пересечения диагоналей (т. к. в ромбе диагонали являются биссектрисами).пусть вершины ромба --  (так, что диагональ , а диагональ  ). тогда расстояние  является гипотенузой прямоугольного треугольника  , катет  которого нам дан в условии, а катет  находим исходя из того, что точка -- точка пересечения диагоналей в ромбе, поэтому делит их пополам. значит, . по теореме пифагора находим  .  .  , т. к. прямоугольные  треугольники и равны по двум катетам. абсолютно аналогично находим  . 

Это можно посчитать по формуле n(n+1)/2, где n - любое количество друзей. 6(6+1)/2=42 раза. проверка: 1+2+3+4+5+6=42.