Точки e, f, g и h - середины сторон ав, вс, cd и ad выпуклого четырехугольника авсd . точки м и n – середины диагоналей ac и bd соответственно. а) докажите, что отрезки eg, fh и mn пересекаются в одной точке. б) найдите отношение площадей четырехугольников emgn и fmhn, если ас и вd равны друг другу и взаимно перпендикулярны, а прямые mn и fh пересекаются под углом α.

Ярешил сохранить эту .  а) efgh и fmhn - параллелограммы. у efgh стороны параллельны диагоналям четырехугольника abcd. действительно,  ef ii ac как средняя линия δabc; gh  ii ac как средняя линия δabd;   eh ii bd как средняя линия δabd;   fg ii bd как средняя линия  δbcd;   то есть ef ii  gh ii ac; fg ii eh ii bd; и ef = gh = ac/2; fg = eh = bd/2;     у четырехугольника  fmhn стороны параллельны  сторонам abcd.  fm ii ab как средняя линия δabc; nh  ii ab как средняя линия δabd;   fn ii dc как средняя линия δdbc;   mh ii dc как средняя линия δacd  . у параллелограммов диагонали делятся пополам в точке пересечения. у этих параллелограммов, кроме eg и mn,  есть общая диагональ fh. поэтому все три отрезка  eg, fh и mn  пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам. б) если ac = bd; и они взаимно перпендикулярны, то efgh - квадрат (смотри п.  а))  это означает,  что отрезки eg и fh тоже равны между собой и взаимно перпендикулярны, как диагонали квадрата. (кроме того, они составляют с диагоналями abcd  углы в 45°, в решении это не используется, но для общей картины полезно заметить). то есть, если между mn и fh угол  α; то между eg и fh угол  90° - α; площадь параллелограмма равна d1*d2*sin(α)/2; где d1 и d2 - диагонали параллелограмма, а  α - угол между ними. с учетом eg = fh; отношение площадей параллелограммов  emgn и fmhn  равно  sin(90° - α)/sin(α) = ctg(α);

Если а=3, б=4, то с=5. это "египетский" треугольник. ответ: гипотенуза=5.