На сторонах ав, вс, са треугольника авс даны точки м, к, р соответственно. докажите, что треугольник мкр равновелик треугольнику, вершины которого получены из точек м, к, р симметрией относительно середин соответствующих сторон.

Пусть расстояния от середин сторон до точек x, y, z. тогда площади треугольников за пределами mkp в сумме дадут (с/2 - x)*(b/2 + z)*sin(a)/2 + (c/2 + x)*(a/2 - y)*sin(b)/2 + (a/2 + y)*(b/a - z)*sin(c)/2; тут могут быть какие-то вопросы, что именно и как обозначено. на самом деле это совершенно не важно. обозначьте как-то стороны a b c (само собой, напротив стороны a лежит угол a и так далее), и на стороне a точка лежит на y от середины, на стороне b - на расстоянии z от середины, на стороне c - на расстоянии x от середины. при этом x y z могут принимать и положительные, и отрицательные значения. смысл в том, чтобы доказать, что замена x y z => -x -y -z не изменяет знака выражения (само собой, тогда эта замена не влияет и на площадь mkp). если раскрыть скобки, получится вот что (cb/4 - xz)*sin(a)/2 + (ca/4 - xy)*sin(b)/2 + (ab/2 - yz)*sin(c)/2 + + (x/4)*(a*sin(b) - b*sin(a)) + (y/4)*(b*sin(c) - c*sin(b)) + + (z/4)*(c*sin(a) - a*sin(c)); первые три слагаемых очевидно не меняют знака при x y z => -x -y -z, три других слагаемых равны 0 по теореме синусов, поскольку a/sin(a) = b/sin(b) = c/sin(c); всё доказано.

если при пересечении двух прямых секущей:

накрест лежащие углы равны, илисоответственные углы равны, илисумма односторонних углов равна 180°, то

прямые параллельны.