Основные методы решения тригонометрических уравнений

  тригонометрические уравнения.  уравнение, содержащее неизвестное под  знаком тригонометрической функции, называетсятригонометрическим.    простейшие тригонометрические уравнения.    методы решения тригонометрических уравнений.  решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:     преобразование уравнения  для получения его простейшего  вида (  см. выше  )  и    решение  полученного простейшего  тригонометрического уравнения.существует семь  основных методов решения  тригонометрических уравнений.  1. метод.    этот метод нам хорошо известен из       ( метод замены переменной и подстановки ).    2. разложение на множители.    этот метод рассмотрим на примерах.        п р и м е р  1.  решить уравнение:     sin  x  +  cos  x  = 1 .        р е ш е н и е .    перенесём все члены уравнения влево:                                                                                                                               sin  x  + cos  x  – 1 = 0 ,                                                              преобразуем и разложим на множители выражение в                                                            левой части уравнения:                                                                     п р и м е р    2.    решить уравнение:     cos  2  x  +  sin  x  ·  cos  x  = 1.        р е ш е н и е .          cos  2  x  + sin  x  · cos  x  –  sin  2  x  –  cos  2  x  = 0 ,                                                                                        sin  x  · cos  x  –  sin  2  x  = 0 ,                                                                                        sin  x  · ( cos  x  –  sin  x  ) = 0 ,                                                                      п р и м е р    3.    решить уравнение:     cos  2x  –  cos  8x  +  cos  6x  = 1.            р е ш е н и е .        cos  2x  +  cos  6x  = 1 +  cos  8x  ,                                                                2 cos 4x  cos 2x  = 2 cos  ²  4x  ,                                                              cos 4x  ·  ( cos 2x  –  cos 4x  ) = 0 ,                                                                    cos 4x  · 2 sin 3x  · sin  x  = 0 ,                                                          1).  cos 4x  = 0 ,                          2).  sin 3x  = 0 ,                  3). sin  x  = 0 ,                                                        3.  к  однородному уравнению.  уравнение  называется  однородным относительно    sin    и    cos,  если  все его  члены  одной  и  той  же степени  относительно  sin    и  cos    одного  и  того  же  угла.  чтобы  решить  однородное  уравнение,  надо:         а)  перенести все его члены в левую часть;       б)  вынести все общие множители за скобки;       в)  приравнять все множители и скобки нулю;       г)  скобки,  приравненные  нулю,   однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на                  cos  ( или  sin  ) в старшей степени;         д)  решить полученное уравнение относительно  tan  .          п р и м е р .    решить уравнение:   3sin  2  x  + 4  sin  x  ·  cos  x  + 5  cos  2  x  = 2.        р е ш е н и е .    3sin  2  x  + 4 sin  x  ·  cos  x  + 5 cos  2  x  = 2sin  2  x  + 2cos  2  x  ,                                                          sin  2  x  + 4 sin  x  ·  cos  x  + 3 cos  2  x  = 0 ,                                                          tan  2  x  + 4 tan  x  + 3 = 0 ,    отсюда    y  2  + 4y  +3 = 0 ,                                                          корни этого уравнения:     y1  =  -1,    y2  =  -3,  отсюда                                                      1)    tan  x  = –1,                              2)    tan  x  = –3,                                                          4. переход к половинному углу.  рассмотрим этот метод на примере:         п р и м е р .  решить уравнение:   3  sin  x  – 5  cos  x  = 7.        р е ш е н и е .    6 sin (  x  / 2 ) · cos (  x  / 2 ) – 5 cos  ²  (  x  / 2 ) + 5 sin  ²  (  x  / 2 ) =                                                                                                                                              = 7 sin  ²  (  x  / 2 ) + 7 cos  ²  (  x  / 2 ) ,                                                      2 sin  ²  (  x  / 2 ) – 6 sin (  x  / 2 ) · cos (  x  / 2 ) + 12 cos  ²  (  x  / 2 ) = 0 ,                                                      tan  ²  (  x  / 2 ) – 3 tan (  x  / 2 ) + 6 = 0 ,                                                                        .     .    .    .    .    .    .    .    .    .5. введение угла.  рассмотрим уравнение вида:                                                                                         a  sin  x  +  b  cos  x  =  c  ,        где    a,  b,  c  – коэффициенты;     x  – неизвестное.теперь  коэффициенты  уравнения    свойствами  синуса  и  косинуса,  а именно: модуль (  абсолютное  значение  )  каждого  из  них не больше  1,  а сумма их квадратов равна 1.  тогда можно  обозначить  их соответственно  как  cos    и  sin    ( здесь    - так угол  ), и  наше уравнение принимает вид:     6. преобразование произведения в сумму.  здесь используются соответствующие  формулы.              п  р  и  м  е  р  .    решить уравнение:   2  sin  2x  ·  sin  6x  =  cos  4x.        р е ш е н и е .  преобразуем левую часть в сумму:                                                                                   cos 4x  – cos 8x  = cos 4x  ,                                                                                                  cos 8x  = 0 ,                                                                                                  8x  =  p  / 2 +  pk  ,                                                                                                    x  =  p  / 16 +  pk  / 8 .  7. универсальная подстановка.  рассмотрим этот метод на примере.                                                                                                                                                                                                                                                                                                    п р и м е р  .      решить уравнение:   3  sin  x  – 4  cos  x  = 3 .                                                               

154*648=99792
765*5636=4311540
7743*544=4212192