Восновании пирамиды mabcd лежит прямоугольник с отношением сторон ab: ad=1: 2. каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом в 60 градусов. на ребрах ма, мв, мс взяты соответственно точки p, q, r (середины этих ребер). найти углы, которые образуют с плоскостью мас следующую прямую: dp

вершина m пирамиды mabcd проектируется в точку o. введем систему координат следующим образом:

точку o примем за начало координат,

оси ox и oy направим параллельно сторонам основания,

а ось oz— вдоль высоты пирамиды om. выразим координаты точек: a(–4; –2; 0), b(–4; 2; 0), c(4; 2; 0), d(4; –2; 0), m(0; 0; 2 15 ,)r(2; 1; 15 .)отрезок ar является высотой в равностороннем треугольнике  amc,

поэтому прямая mr перпендикулярна ребру ar искомого 

двугранного угла.

проведем в треугольнике adr высоту dh.

тогда останется найти    угол между прямыми mr и dh.найдем координаты векторов:

mr = {2; 1; - корень из 15 }ar = {6; 3; корень из15 }da = {- 8; 0; 0}.так как векторы ah  и ar -  коллинеарны, то 

ah = k ar= ⋅ = {6k ; 3k ; корень из15 k}далее из равенства dh=da+ah  получаем  dh= − {6k- 8; 3k  ;   корень из15  k  }теперь, используя условие dh ⊥  ar 

имеем уравнение 6(6k – 8) + 9k + 15k = 0. отсюда k = 0,8 и dh = {−3,2; 2,4; 0,8 корень из15 . }

так как mr  и dh  — направляющие векторы прямых mr и  dh соответственно, то для нахождения угла между этими прямыми воспользуемся формулой :

cos ϕ=

в числителе   | - 6, 4 + 2, 4 - 12 | 

в знаметалеле под первым корнем : корень из 20   умнижить на корень из 25,6

получаем  cos ϕ= корень из 2 на 2

значит, угол между прямыми mr и dh и угол между данными плоскостями равен =  π/4

ответ: π/4