Дана правильная пирамида sabc, у которой сторона основания ab = 6, а боковое ребро sa = 12. сечение пирамиды, параллельное рёбрам ac и sb, является квадратом. найдите угол между диагональю этого квадрата и плоскостью основания пирамиды.

Вершина квадрата,лежащая на ребре sc, равно удалена от рёбер sa (также и sb) и вс, поэтому она лежит на биссектрисе угла cbs. биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилегающим сторонам. 6 : 12 = 1 : 2. поэтому сторона  sc разделится на 3 части: 1 часть ближе к стороне св -это (12/3)*1= 4. это и есть длина стороны квадрата. теперь переходим к диагонали этого квадрата. один конец её находится на боковом ребре на расстоянии 1/3 его длины. значит, и по высоте будет находиться на 1/3 высоты пирамиды. вершина правильной пирамиды проецируется в точку пересечения медиан треугольника основания - это 2/3 высоты основания, считая от вершины. высота основания h = 6*cos 30 = 6*(√3/2) = 3√3. 2/3 части её равны 3√3*2 / 3 = 2√3. отсюда высота пирамиды h =  √(12²-(2√3)²) =  √(144-12) =  √132 =  =2√33 = 11,4891. третья часть составит 2√3 / 3 =  3,82971.боковая сторона проекции квадрата на основание равна:   (2/2) / cos 30 = 1 /(√3/2) = 2 /  √3 =  1,1547.проекция диагонали равна  √(4²+ 1.1547²) =  √16+ 1,33333) ==  √17,3333 =  4,16333.тангенс угла наклона диагонали квадрата полученного сечения к основанию равен    3,82971 /  4,16333 =  0.91987.угол равен arc tg  0.91987 =  0.74368 радиан = 42.6099 градуса.

Вертикальные углы равны, поэтому вершина треугольника тоже равна 140. высота это биссектриса, => 140/2=70