Впрямоугольном треугольнике авс: ав=5м, ас=3м, вс=4м. вычислите площадь треугольника асм и амв, если ам – биссектриса. используя теорему биссектриссы

биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон.

пусть см=хтогда вм=4-х.   ас: ав=см: мв3: 5=х: (4-х)5х=12-3х8х=12х=1,5см=1,5 сммв=4-1,5=2,5 сму треугольников авм и амс разные основания, но высоты равны ас=3 смs ⊿асм=ас·см: 2=2,25 см²s ᐃ авм=ас·вм: 2=3,75 см²проверка: s ⊿авс=s ⊿асм+s ᐃ авмs ⊿авс=3·4: 2=6 см²s ⊿асм+s ᐃ авм=2,25+3,75=6 см²

Aod и boc - равнобедренные прямоугольные треугольники с известными гипотенузами. отсюда легко видеть, что ao = od = 20√2; bo = oc = 15√2; треугольник cod прямоугольный с известными катетами, откуда легко найти и cd = 25√2; это просто египетский треугольник 3,4,5, коэффициент подобия 5√2. (внимание! - читать внимательно). поскольку равнобедренная трапеция может быть вписана в окружность, om является медианой треугольника aob; строится описанная окружность. ∠moa = ∠koc; ∠cok = ∠doc; (стороны углов перпендикулярны)∠bao = ∠odc; (вписанные углы, оба опираются на дугу cb)=> δmao - равнобедренный; углы при стороне ao равны,=> am = mo; на гипотенузе прямоугольного δabo есть только одна точка, равноудаленная от вершины прямого угла и вершины острого - её середина => om - медиана треугольника aob;   поэтому надо найти сумму длин высоты и медианы к гипотенузе в египетском треугольнике с коэффициентом подобия 5√2; высота треугольника 3,4,5 равна 3*4/5 = 2,4; медиана 2,5; в сумме 4,9 и остается умножить на 5√2; ответ 49√2/2;