Составить ряд маклорена для функции y=xe^ln3-x

1. разложение функции  f(x)=ex  в ряд маклорена.f(x)=f′(x)=f″(x)=…=f(n)(x)=…=ex.f(0)=f′(0)=f″(0)=…=f(n)(0)=…=1.составим для функции  f(x)=ex  формально ряд маклорена: 1+  .найдём области сходимости этого ряда.  при любых  x, следовательно, областью сходимости ряда является промежуток    (-∞; +∞). заметим, что так как ряд сходится абсолютно, то      при любых  х  и тем более    при любыхх. так как  f(n+1)(x)=ex  и  f(n+1)(с)=eс, то  =ec=0. таким образом, имеет место разложение при  x(-∞; +∞)ex=1+  .          (32)2. разложение функции  f(x)=sinx  в ряд маклорена.вычислим производные данной функции.f′(x)=cosx=sin(x+), f″(x)=-sinx=sin(x+),f″′(x)=-cosx=sin(x+), f(4)(x)=sinx=sin(x+), …,  f(n)(x)=sin(x+),  … .  вычислим значения  f(x)  и производных в точке  0:   f(0)=0,  f′(0)=1,  f″(0)=0,  f″′(0)=-1,  f(4)(0)=0, …,  f(2n-1)(0)=(-1)n-1,  f(2n)(0)=0.исследуем остаточный член ряда.|rn(x)|= =  так как |sin(c+(n+1)|≤1. переходя к пределу при  n→∞,  получаем    следовательно,    и  . рекомендуем показать самостоятельно, что областью сходимости ряда является промежуток (-∞; +∞). таким образом, имеет место разложение при  x(-∞; +∞): sinx=x-  .                          (33)3. разложение функции  y=cosx  в ряд маклорена. дифференцируя ряд (33), получаем разложение при                x(-∞; +∞): cosx=1-  .                        (34)4. биномиальный ряд.разложим в ряд маклорена функцию  f(x)=(1+x)m, где  m≠0 – любое  действительное число. для этого вычислим производные:   f′(x)=m(1+x)m-1,  f″(x)=(m-1)m(1+x)m-2,  f″′(x)=(m-2)(m-1)m(1+x)m-3, …,  f(n)(x)=(m-n+1)…(m--1)m(1+x)m-n,  … приx=0 получаем  f(0)=1,  f′(0)=m,  f″(0)=(m-1)m,    f″′(0)=(m--2)(m-1)m, …,  f(n)(0)=(m-n+1)…(m-2)(m-1)m, … .можно показать, что областью сходимости ряда является промежуток (-1; 1) (на концах интервала ряд сходится или расходится в зависимости от конкретных значений  m) и что  . таким образом, при  x(-1; 1) имеет место разложение: (1+x)m=1+++++…+  .                        (35)ряд (35) называется биномиальным рядом.5. разложение функции  f(x)=lnx  в ряд тейлора. при  x=0 функция  f(x)=lnx  не определена, поэтому её нельзя разложить в ряд маклорена. разложим её в ряд тейлора, например, по степеням (x-1). для этого, вычислим производные:   f′(x)=x-1,  f″(x)=-1.x-2=-1! x-2,  f″′(x)=1.2.x-3=2! x-3,  f(4)(x)=-1.2.          .3.x-4=-3! x-4, …,    f(n)(x)=(-1)n-1.    .(n-1)! x-n, … .при  x=1 получаем:   f(1)=0,  f′(1)=1,  f″(1)=-1! ,  f″′(1)=2! ,  f(4)(1)=-3! , …,  f(n)(1)=(-1)n-1(n- … .можно показать, что областью сходимости ряда является промежуток (0; 2] и что  . таким образом, при  x(0; 2] имеет место разложение: lnx=.                          (36)заметим, что разложение функций в ряды тейлора или маклорена непосредственно часто связано с громоздкими вычислениями при нахождении производных и исследовании остаточного члена. на примерах покажем некоторые приёмы, позволяющие избежать этих трудностей.  примеры.1. разложить в степенной ряд функцию  .в формуле (32) сделаем замену переменной  x=-t2, получим  при                        t(-∞; +∞). переобозначая  t  на  x, получим нужное разложение:   при                        x(-∞; +∞).2. разложить в степенной ряд функцию  f(x)=.очевидно,  f(x)=. обозначим  x2=t  и воспользуемся биноминальным рядом при  m=-1.==1-t+t2-t3+…+(-1)n.tn+…  , t(-1; 1).                    (37)возвращаясь к переменной  x, получаем разложение при  x(-1; 1): =1-x2+x4-x6+…+(-1)n.x2n+… .                  (38)3. разложить в ряд маклорена функцию  f(x)=ln(1+x).проинтегрируем обе части равенства (37) от 0 до  x  при  x(-1; 1). получим  илиln(1+x)=x  .                    (39)можно показать, что ряд (39) имеет область сходимости          (-1; 1].4. разложить в степенной ряд функцию  f(x)=arctgx.проинтегрируем обе части равенства (38) от 0 до  x  при  x(-1; 1):   илиarctgx=x  .                  (40)можно показать, что ряд (40) имеет область сходимости          [-1; 1].

61 / 122 = 0,5 ответ: 0,5 ар