Построить треугольник авс, если угол ав =4см, ас =5см, угол с =45 градусов

дополнительные обозначения. n - точка пересечения высот треугольника klm, m1 - точка пересечения продолжения стороны ml и всоты kn, k1 - точка пересечения высоты mn и продолжения стороны kl. о1 - центр описанной окружности треугольника klm, o2 - центр окружности, проходящей через точки knm.

теперь решение.

у четырехугольника nm1mk1 два угла прямые, поэтому углы knm и klm в сумме равны 180° (угол m1lk1 вертикальный к углу klm). угол knm вписан в окружность с центром в точке  о2 и опирается на дугу км этой окружности. угол klm вписан в окружность с центром в точке  o1 и опирается в ней  на дугу км (большую, которая лежит снаружи окружности с центром в точке  о2). поскольку о2 лежит на окружности с центром в точке  о1, то угол ко2m вписан в окружность с центром в точке  о1 и опирается на ту же дугу, что и угол klm. при этом он является в окружности с центром в точке  о2 центральным углом для дуги км, то есть он в 2 раза больше угла knm. 

если обозначить угол knm =  α; то угол ко2м = 2*α = угол klm = 180° -  α; откуда  α = 60°;

угол klm = 120°,

и - по теореме синусов, 

6 = 2*r*sin(120°); r = 2√3;

ненужное следствие - радиусы окружностей равны, и центр о1 лежит на окружности с центром в точке  о2.