Решить к экзамену по 7 класс. 11. один из внешних углов треугольника в 2 раза больше другого внешнего угла этого треугольника. найдите разность между этими внешними углами, если внутренний угол треугольника, не смежный с указанными внешними углами, равен 60°. 12. отрезки ав и сd — диаметры некоторой окружности. до¬кажите, что прямые ас и вdпараллельны. 13. прямой угол разделен лучом, исходящим из его вершины на два угла, такие, что половина одного угла равна трети другого. найдите эти углы. 14. найдите углы треугольника авс, если угол в на 40° больше угла а, а угол с в 5 раз больше угла а. 15. в равнобедренном треугольнике авс вd — высота, про¬веденная к основанию. точки м и н принадлежат сторонам aв и вс соответственно. луч dв — биссектриса угла мdh. докажите, что ам = нс. 16. один из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 112°. найдите остальные углы. 17. в четырехугольнике авсd ab=bc, ∟cad=∟bac. докажите, что bc||ad.

11. вроде как сумма всех внешних углов равна 900 градусов. (360*3-180(сумма всех внутренних углов треугольника). 360-60 = 300 - внешний угол того что 60 градусов. 900 - 300 = 600 градусов осталось. т.к. один в двое больше другого, то они равны 200 и 400 соответственно. а разность = 200 градусов. 12. если это диаметры одной и той же окружности (а как известно диаметр проходит через центр) то они не могут быть параллельны. 13.  , где x и y углы. 14. представим угол а за х;       x + 5х + x + 40 = 180;       7x = 140;       x = 20 градусов.       соответственно угол а = 20; угол в = 60 градусов, а угол с = 100 градусов. 15. так как bd - это высота, то углы bdc и bda прямые. также bd - биссектриса угла mdh. следовательно углы hdc и mda равны. а так как треугольник abc - равнобедренный, то и отрезки hc и ma равны. но  все равно желательно нарисовать. 16. общий угол при пересечении прямых = 180 градусов. значит второй угол у одной из параллельных прямых равен 180 - 112 = 68 градусов. у второй параллельной прямой то же самое только зеркально отображено. тоже желательно нарисовать. 17. треугольник авс является равнобедренным. а у него углы у основания одинаковые. а так как углы cad и bac равны, то можно прийти к выводу что и стороны у этой фигуры равны. но это не обязательно квадрат. хух.

Решение задачи ДАНО: АВСDEFA1B1C1D1E1F1 - правильная шестиугольная призма ; АВ = АА1 = 1

НАЙТИ: p ( A ; CB1 )

1) точка А и отрезок СВ1 лежат в плоскости треугольника АВ1С.

Все боковые грани правильной шестиугольной призмы равны.

Значит, АВ1 = В1С => ∆ АВ1С - равнобедренный

Найдём все стороны ∆ АВ1С

2) Рассмотрим ∆ АВ1В ( угол АВВ = 90° ):

По теореме Пифагора:

АВ1² = АВ² + ВВ1²

АВ1² = 1² + 1² = 2

АВ1 = √2

АВ1 = В1С = √2

3) В основании правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник. Все углы правильного шестиугольника равны 120°.

Рассмотрим ∆ АВС ( АВ = ВС ):

По теореме косинусов:

АС² = АВ² + ВС² - 2 × АВ × ВС × cos ABC

AC² = 1² + 1² - 2 × 1 × 1 × cos 120°

AC² = 2 - 2 × ( - 1/2 ) = 2 + 1 = 3

AC = √3

4) B1B перпендикулярен ВН

ВН перпендикулярен АС

Значит, по теореме о трёх перпендикулярах В1Н перпендикулярен АС

Высота в равнобедренном ∆ АВ1С является и медианой и биссектрисой =>

АН = НС = 1/2 × АС = 1/2 × √3 = √3/2

5) Рассмотрим ∆ В1СН ( угол В1НС = 90° ):

По теореме Пифагора:

В1С² = В1Н² + НС²

В1Н² = ( √2 )² - ( √3/2 )² = 2 - 3/4 = 5/4

В1Н = √5/2

Опустим из точки А перпендикуляр АМ на отрезок В1С. Соответственно, АМ = р ( А ; В1С )

6) Найдём площадь ∆ В1АС:

S b1ac = 1/2 × AC × B1H

С другой стороны, S b1ac = 1/2 × B1C × AM

Приравняем площади и получим:

1/2 × АС × В1Н = 1/2 × В1С × АМ

АС × В1Н = В1С × АМ