Найдите наименьшее и наибольшее значение f(x)=cosx-1/3cos3x на отрезке от 0 до п

1) найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю:

-sin x   +   sin 3х   = 0

2) найдем корни этого уравнения   -   это критические точки функции:

sin 3x   -   sin x   =   0

2 sin x   cos 2x   =   0

a) sin x = 0                 b) cos 2x = 0

      x = pi*n                         2x = pi/2   +   pi*k

                                            x = pi/4   + (pi/2)*k

3) найдем значения х, которые входят в заданный отрезок:

n = 0;       x = 0,   входит

n = 1;       x = pi,   входит

k = 0;       x = pi/4,   входит

k = 1;       x = pi/4 + pi/2 = (3pi)/4,   входит

при других значениях n и k значения х не входят в заданный отрезок

4) найдем значение функции в каждой из этих четырех точек (подставляем вместо х в саму функцию, а не в ее производную):

f(0) = 1   -   1/3   * 1   =   2/3

f(pi/4) = \sqrt{2} / 2   -   1/3   * 0 =    \sqrt{2} / 2

f(3pi/4) = -  \sqrt{2} / 2 - 1/3   * 0 = -  \sqrt{2} / 2

f(pi) =   -1 - 1/3 * 1 = -1   1/3     [ - 4/3]

5) ясно, что наименьшим значением функции будет минус одна целая одна третья.

      а вот для того чтобы найти наибольшее значение функции, надо сравнить числа 2/3 и       \sqrt{2} / 2

их к общему знаменателю и сраним числители:

4   и   3 * (  \sqrt{2})

для это загоним под корень четверку и тройку:

\sqrt{16}     и   \sqrt{18}

так как 18 > 16, то и в итоге наибольшее значение функции    \sqrt{2} / 2

ответ: у(наим) = -1   1/3 при х = pi

            у(наиб) =    \sqrt{2} / 2   при х = pi/4