Дана окружность с центром в точке o и точка а , лежащая вне этой окружности. из точки a проведены две прямые, касающиеся данной окружности в точках m и n найдите радиус этой окружности если ao = 50 mn = 48 и известно что am

Пусть r - радиус. касательная к окружности перпендикулярна радиусу. следовательно, соединив точки а, м, о и а, о, n получим два равных прямоугольных треугольника амо и аnо, поскольку ом=оn=r, а сторона оа - общая, а сами треугольники прямоугольные. в таком случае мn в точке пересечения (обозначим ее р) с ао делится пополам. то есть мр= nр= 48/2=24 к тому же отрезок ао перпендикулярен отрезку мn. рассмотрим треугольник амо. 1) ом=r, ао =50, высота мр=24 по теореме пифагора ао² = ом² + ам² следовательно, 50² = r² + ам², ам² = 50² - r² 2) высота мр делит ао на два отрезка ор и ар ор² = ом² - мр², то есть ор² = r² - 24² и ар² = ам² - мр², или (ао - ор)² = ам² - мр², то есть [50 - √(r² - 24²)]² = ам² - 24² отсюда ам² = [50 - √(r² - 24²)] + 24² 3) поскольку левые части уравнений из 1) и 2) равны, то равны и правые части: 50² - r² = [50 - √(r² - 24²)]² + 24² 50² - r² = 50² - 2•50•√(r² - 24²) + r² - 24² + 24² -50² + r² + 50² - 2•50•√(r² - 24²) + r² - 24² + 24² = 0 2r² - 2•50•√(r² - 24²) = 0 r² - 50•√(r² - 24²) = 0 r² = 50•√(r² - 24²) r²/50 = √(r² - 24²) (r²/50)² = [√(r² - 24²)]² (r²)²/2500 = r² - 24² (r²)² = 2500r² - 2500•576 (r²)² - 2500r² + 1440000 = 0 дискриминант = 2500•2500 - 4• 1440000 = = 6250000 - 5760000 = 490000 первый корень уравнения: r² = (2500 + √490000)/2= = (2500+ 700)/2 = 3200/2 = 1600 следовательно, r=√1600 = 40 второй корень уравнения: r² = (2500 - √490000)/2 = = (2500 - 700)/2 = 1800/2 = 900 следовательно, r=√900 = 30 4) поскольку по условию ам< ом, иначе говоря,  ам< r и из 1) известно, что ао² = ом² + ам², или 50² = r² + ам², следовательно, ам² = 50² - r² подберем верный корень: 1. ам² = 50² - r² = 2500-1600=900 ам = √900 = 30 2. ам² = 50² - 30² = 2500-900=1600 ам = √1600= 40 для выполнения условия ам< r подходит  корень r=40, при котором ам=30 ответ: r=40 

5 и 6 верны

Пошаговое объяснение:

3\а = 4/б

Крайние и средние члены