Найти отношение биссектрис равнобедренного прямоугольного треугольника.

пусть биссектриса ae проведена к основанию bc равнобедренного треугольника abc. треугольник aeb будет прямоугольным, так как биссектриса ae будет одновременно являться его высотой. боковая сторона ab будет гипотенузой этого треугольника, а be и ae - его катетами.

по теореме пифагора (ab^2) = (be^2)+(ae^2). тогда (be^2) = sqrt(( так как ae и медиана треугольника abc, то be = bc/2. следовательно, (be^2) = sqrt(()/

если задан угол при основании abc, то из прямоугольного треугольника биссектриса ae равна ae = ab/sin(abc). угол bae = bac/2, так как ae - биссектриса. отсюда, ae = ab/cos(bac/2).

пусть теперь проведена высота bk к боковой стороне ac. эта высота уже не является ни медианой, ни биссектрисой треугольника. для вычисления ее длины существует формула стюарта.

периметр треугольника - это  сумма  длин всех его сторон p = ab+bc+ac. а его полупериметр  равен  половине  суммы  длин всех его сторон: p = (ab+bc+ac)/2 = (a+b+c)/2, где bc = a, ac = b, ab = c.

формула стюарта для длины биссектрисы, проведенной к стороне c (то есть, ab), будет иметь вид: l = sqrt(4abp(p-c))/(a+b).

из формулы стюарта видно, что биссектриса, проведенная к стороне b (ac), будет иметь такую же длину, так как b = c.